Subgroups — #415326

Order 512.

1266 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 250 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3166	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1998	C₂	1	2	yes	maximal
4	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11331	C₂	1	4	yes	maximal
6	#11330	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
10	#3166	—	2	8	no	—
11	#3166	—	2	8	no	—
12	C₂×#501	—	2	4	no	—
13	C₂×#499	—	2	4	no	—
14	C₂×#499	—	2	8	no	—
15	C₂×#499	—	2	4	no	—
16	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1998	—	2	8	no	—
23	#1984	—	2	4	no	—
24	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
27	#1729	C₂²	1	2	yes	—
28	#1729	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	#533	—	2	4	no	—
34	#533	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
36	C₂×#125	—	2	4	no	—
37	C₂×#125	—	2	2	no	—
38	C₂×#125	—	2	4	no	—
39	C₂×#125	—	2	4	no	—
40	C₂×#125	—	2	2	no	—
41	C₂×#125	—	2	4	no	—
42	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×#125	D₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#501	—	2	32	no	—
51	#499	—	2	32	no	—
52	#499	—	2	32	no	—
53	#428	—	2	16	no	—
54	#428	—	2	16	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	8	no	—
57	C₂×#107	—	2	8	no	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	8	no	—
60	C₂×#106	—	2	8	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
64	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
69	#343	—	2	16	no	—
70	#341	Q₈	1	8	yes	complemented
71	#341	Q₈	1	8	yes	complemented
72	#336	—	2	4	no	—
73	#336	—	2	4	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
80	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
84	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
85	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
86	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
98	#125	—	2	16	no	—
99	#125	—	2	8	no	—
100	#125	—	2	8	no	—
101	#125	—	2	8	no	—
102	#125	—	4	4	no	—
103	#125	—	4	4	no	—
104	#125	—	4	8	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
106	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
107	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
108	#117	—	2	4	no	—
109	#117	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	#107	—	2	16	no	—
131	#107	—	2	32	no	—
132	#106	—	2	16	no	—
133	#106	—	2	32	no	—
134	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
135	#97	—	2	8	no	—
136	C₄×C₈	—	2	8	no	—
137	C₄×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
147	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
158	M₁₆	—	2	8	no	—
159	M₁₆	—	2	8	no	—
160	M₁₆	—	2	8	no	—
161	M₁₆	—	4	8	no	—
162	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
163	C₂×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	—	2	8	no	—
166	C₂×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂×C₈	—	2	8	no	—
169	C₂×C₈	—	2	8	no	—
170	C₂×C₈	—	2	8	no	—
171	C₂×C₈	—	2	8	no	—
172	C₂×C₈	—	4	2	no	—
173	C₂×C₈	—	4	2	no	—
174	C₂×C₈	—	4	2	no	—
175	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
176	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
183	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₄²	—	4	2	no	—
188	C₄²	—	4	2	no	—
189	C₄²	#120	1	4	yes	—
190	C₄²	#120	1	4	yes	—
191	C₄²	#120	1	4	yes	—
192	C₄²	#127	1	4	yes	—
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
195	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
196	C₂³	#557	1	2	yes	—
197	C₂³	#557	1	2	yes	—
198	Q₈	—	8	8	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂×C₄	—	8	8	no	—
206	C₂×C₄	—	8	8	no	—
207	C₂×C₄	—	8	8	no	—
208	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
209	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
223	C₈	—	2	4	no	—
224	C₈	—	2	4	no	—
225	C₈	—	2	16	no	—
226	C₈	—	8	2	no	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
231	C₂²	#2546	1	4	yes	—
232	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
233	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	#3067	1	4	yes	—
235	C₄	—	2	4	no	—
236	C₄	—	2	4	no	—
237	C₄	—	8	4	no	—
238	C₄	—	8	8	no	—
239	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
240	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
241	C₄	#2434	1	4	yes	—
242	C₄	#2658	1	1	yes	characteristic
243	C₄	#2868	1	1	yes	characteristic
244	C₂	—	2	4	no	—
245	C₂	#15190	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#23438	1	2	yes	—
247	C₂	#28701	1	2	yes	—
248	C₂	#28702	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
70. #341	Q₈	semidirect
71. #341	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3166	2
C₂²×#499	2
C₂×#1998	2
#21300	2
#11331	2
#11330	2
C₄×#341	2