Subgroups — #415350

Order 512.

1134 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#14709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11392	C₂	1	4	yes	maximal
6	#11276	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2862	—	2	1	no	—
15	#2859	—	2	1	no	—
16	#2660	—	2	2	no	—
17	#2550	—	2	4	no	—
18	#2549	—	2	4	no	—
19	#2317	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1992	—	2	2	no	—
25	#1991	—	2	1	no	—
26	#1991	—	2	1	no	—
27	#1989	—	2	4	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	#1736	C₂²	1	2	yes	—
30	#1736	C₂²	1	4	yes	—
31	#1736	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	#1436	—	2	4	no	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	#544	—	2	8	no	—
40	#544	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×#125	—	2	2	no	—
44	C₂×#125	—	2	2	no	—
45	C₂×#125	—	2	2	no	—
46	C₂×#125	—	2	1	no	—
47	C₂×#125	—	2	1	no	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×#125	—	2	2	no	—
50	C₂×#125	—	2	2	no	—
51	C₂×#125	Q₈	1	4	yes	complemented
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×#97	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
69	#398	—	2	8	no	—
70	#395	—	2	8	no	—
71	#391	—	2	8	no	—
72	#389	—	2	8	no	—
73	#389	—	2	4	no	—
74	#385	—	2	4	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	D₄	1	2	yes	—
77	#382	—	2	2	no	—
78	#382	—	2	1	no	—
79	#382	—	2	1	no	—
80	#382	—	2	2	no	—
81	#382	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#382	D₄	1	1	yes	characteristic
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	#376	—	2	1	no	—
88	C₂×#95	—	2	8	no	—
89	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
90	C₄³	—	2	1	no	—
91	C₄³	—	2	2	no	—
92	C₄³	—	2	2	no	—
93	#343	—	4	4	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#340	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#339	—	4	4	no	—
100	#339	Q₈	1	8	yes	complemented
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
122	#125	—	2	8	no	—
123	#125	—	2	4	no	—
124	#125	—	2	4	no	—
125	#125	—	4	8	no	—
126	#125	—	4	4	no	—
127	#125	—	4	4	no	—
128	#125	—	4	2	no	—
129	#125	—	4	2	no	—
130	#125	—	4	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
132	#117	—	2	2	no	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	#117	#41	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
184	#97	—	4	2	no	—
185	C₄×C₈	—	4	2	no	—
186	#95	—	2	8	no	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	2	4	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	#95	—	2	2	no	—
192	#95	—	4	16	no	—
193	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	2	4	no	—
229	M₁₆	—	4	2	no	—
230	M₁₆	—	4	2	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
257	C₄⋊C₄	#124	1	4	yes	—
258	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	16	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	8	4	no	—
272	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
273	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
275	C₄²	#124	1	2	yes	—
276	C₄²	#124	1	2	yes	—
277	C₄²	#124	1	4	yes	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#546	1	2	yes	—
283	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
284	Q₈	—	16	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	#393	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#393	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₈	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#2451	1	2	yes	—
340	C₂²	#2492	1	2	yes	—
341	C₂²	#3018	1	4	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	4	8	no	—
345	C₄	—	4	4	no	—
346	C₄	—	4	4	no	—
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	#2451	1	2	yes	—
352	C₄	#2492	1	2	yes	—
353	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2568	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2640	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2862	1	1	yes	characteristic
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	2	2	no	—
359	C₂	#15191	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#23461	1	2	yes	—
361	C₂	#25831	1	2	yes	—
362	C₂	#25877	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
51. C₂×#125	Q₈	semidirect
100. #339	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35330	2
#21325	2
#21314	2
#14709	2
#11392	2
#11276	2
#10858	2
#10839	2
C₄×#339	2