Subgroups — #416071

Order 512.

1296 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21323	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11163	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11127	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3138	—	2	4	no	—
13	#3138	—	2	4	no	—
14	C₂×#490	—	2	2	no	—
15	C₂×#486	—	2	2	no	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1993	—	2	2	no	—
27	#1991	—	2	2	no	—
28	#1985	—	2	4	no	—
29	#1965	—	2	4	no	—
30	#1961	—	2	4	no	—
31	#1778	—	2	4	no	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	#1736	C₂²	1	4	yes	—
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	#1729	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×#127	—	2	1	no	—
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	2	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#490	—	2	16	no	—
63	#486	—	2	16	no	—
64	C₂×#108	—	2	4	no	—
65	C₂×#108	—	2	4	no	—
66	C₂×#108	—	2	4	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	#418	—	2	8	no	—
71	#418	—	2	8	no	—
72	C₂×#102	—	2	8	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	8	no	—
76	C₂×#102	—	4	4	no	—
77	C₂×#100	—	2	8	no	—
78	C₂×#100	—	2	8	no	—
79	C₂×#100	—	4	4	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
83	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	—	2	1	no	—
86	C₂×#97	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	#382	—	2	2	no	—
92	#382	—	2	1	no	—
93	#382	—	2	1	no	—
94	C₂×#95	—	2	2	no	—
95	#343	—	4	4	no	—
96	#341	—	2	4	no	—
97	#340	—	2	8	no	—
98	#336	—	2	4	no	—
99	#336	—	2	4	no	—
100	C₂⁵	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
116	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	#127	—	2	4	no	—
152	#127	—	2	4	no	—
153	#127	—	2	8	no	—
154	#127	—	4	4	no	—
155	#127	—	4	2	no	—
156	#127	—	4	2	no	—
157	#125	—	2	4	no	—
158	#125	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	#108	—	2	16	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
185	#102	—	2	32	no	—
186	#102	—	4	8	no	—
187	#102	—	4	8	no	—
188	#100	—	4	16	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	—	2	8	no	—
191	#97	—	4	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	4	no	—
193	C₄×C₈	—	4	2	no	—
194	#95	—	4	2	no	—
195	#95	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	—	8	8	no	—
202	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	8	8	no	—
226	C₂×D₄	—	8	8	no	—
227	C₂×D₄	—	8	16	no	—
228	C₂×D₄	—	8	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
234	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	2	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	#120	1	2	yes	—
289	C₄²	#120	1	2	yes	—
290	C₄²	#121	1	4	yes	—
291	C₄²	#121	1	4	yes	—
292	C₄²	#123	1	2	yes	—
293	C₄²	#123	1	2	yes	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	8	8	no	—
298	C₂³	—	8	8	no	—
299	C₂³	—	8	4	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	8	no	—
303	C₂³	—	16	8	no	—
304	C₂³	—	16	8	no	—
305	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#556	1	2	yes	—
309	C₂³	#559	1	2	yes	—
310	Q₈	—	8	8	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	8	16	no	—
315	D₄	—	8	16	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	16	4	no	—
328	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
348	C₈	—	2	4	no	—
349	C₈	—	4	2	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	16	8	no	—
360	C₂²	—	16	8	no	—
361	C₂²	—	16	4	no	—
362	C₂²	—	16	4	no	—
363	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2447	1	2	yes	—
365	C₂²	#2545	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2592	1	2	yes	—
368	C₂²	#3068	1	4	yes	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	—	16	2	no	—
373	C₄	#2407	1	2	yes	—
374	C₄	#2448	1	2	yes	—
375	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2620	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2850	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	16	4	no	—
382	C₂	#15217	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#23531	1	2	yes	—
384	C₂	#28674	1	2	yes	—
385	C₂	#28768	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21323	C₂	semidirect
3. #21301	C₂	semidirect
6. C₂×#1778	C₂	semidirect
7. #11163	C₂	semidirect
8. #11127	C₂	semidirect
9. #10858	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
#21323	2
#21301	2
C₂×#1965	2
C₂×#1961	2
C₂×#1778	2
#11163	2
#11127	2
#10858	2