Subgroups — #416087

Order 512.

1158 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11105	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3142	—	2	4	no	—
13	#3142	—	2	4	no	—
14	C₂×#491	—	2	1	no	—
15	C₂×#490	—	2	1	no	—
16	C₂×#488	—	2	2	no	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1998	—	2	4	no	—
28	#1991	—	2	4	no	—
29	#1961	—	2	1	no	—
30	#1960	—	2	1	no	—
31	#1958	—	2	2	no	—
32	#1954	—	2	4	no	—
33	C₄×#108	—	2	4	no	—
34	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#125	—	2	1	no	—
52	C₂×#125	—	2	1	no	—
53	C₂×#125	—	2	2	no	—
54	C₂×#125	—	2	2	no	—
55	C₂×#125	—	2	2	no	—
56	C₂×#125	—	2	2	no	—
57	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#491	—	2	8	no	—
66	#490	—	2	8	no	—
67	#488	—	2	16	no	—
68	C₂×#108	—	2	4	no	—
69	C₂×#108	—	2	4	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	#417	—	2	8	no	—
75	#417	—	2	8	no	—
76	#417	—	2	8	no	—
77	#417	—	4	4	no	—
78	C₂×#103	—	2	4	no	—
79	C₂×#103	—	2	4	no	—
80	C₂×#102	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	—	2	4	no	—
82	#408	—	2	8	no	—
83	#408	—	4	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
97	#382	—	2	1	no	—
98	#382	—	2	1	no	—
99	#382	—	2	2	no	—
100	C₂×#95	—	2	2	no	—
101	#343	—	2	8	no	—
102	#343	—	4	4	no	—
103	#341	—	2	4	no	—
104	#340	—	2	4	no	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#125	—	2	4	no	—
157	#125	—	2	4	no	—
158	#125	—	2	8	no	—
159	#125	—	4	4	no	—
160	#125	—	4	2	no	—
161	#125	—	4	2	no	—
162	#124	—	2	4	no	—
163	#124	—	2	4	no	—
164	#121	—	4	4	no	—
165	#121	—	4	4	no	—
166	C₄×D₄	—	4	4	no	—
167	C₄×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
191	#108	—	2	16	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
193	#103	—	2	16	no	—
194	#103	—	4	8	no	—
195	#102	—	2	16	no	—
196	#102	—	4	8	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
199	#97	—	2	4	no	—
200	#97	—	4	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	8	no	—
203	C₄×C₈	—	4	2	no	—
204	#95	—	4	2	no	—
205	#95	—	4	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	2	no	—
207	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	#41	—	4	4	no	—
209	#41	—	4	4	no	—
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	#41	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	4	2	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	4	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄²	#120	1	2	yes	—
304	C₄²	#120	1	2	yes	—
305	C₄²	#121	1	4	yes	—
306	C₄²	#121	1	4	yes	—
307	C₄²	#123	1	2	yes	—
308	C₄²	#123	1	2	yes	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#556	1	2	yes	—
320	C₂³	#559	1	2	yes	—
321	Q₈	—	4	4	no	—
322	Q₈	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	8	8	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	—	16	4	no	—
350	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
370	C₈	—	2	4	no	—
371	C₈	—	4	2	no	—
372	C₈	—	4	4	no	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	8	2	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2448	1	2	yes	—
387	C₂²	#2544	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2592	1	2	yes	—
390	C₂²	#3067	1	2	yes	—
391	C₂²	#3067	1	2	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	4	no	—
394	C₄	—	8	2	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	—	16	2	no	—
397	C₄	#2407	1	2	yes	—
398	C₄	#2447	1	2	yes	—
399	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2620	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2850	1	1	yes	characteristic
403	C₂	—	2	2	no	—
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	16	2	no	—
406	C₂	#15217	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#23530	1	2	yes	—
408	C₂	#28633	1	2	yes	—
409	C₂	#28733	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#28734	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1998	C₂	semidirect
3. C₂×#1991	C₂	semidirect
6. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
7. #11192	C₂	semidirect
8. #11105	C₂	semidirect
9. #10858	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3142	2
C₂×#1998	2
C₂×#1991	2
#21201	2
#21187	2
C₂×C₄×#108	2
#11192	2
#11105	2
#10858	2