Subgroups — #416415

Order 512.

972 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20769	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20654	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11369	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11084	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2285	C₂²	1	2	yes	—
16	#1939	—	2	8	no	—
17	#1838	—	2	2	no	—
18	#1837	—	2	2	no	—
19	#1806	—	2	8	no	—
20	#1750	—	2	2	no	—
21	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
22	#1738	C₂²	1	4	yes	—
23	#1733	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
25	#1729	C₂²	1	4	yes	—
26	#1729	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
31	C₄×#41	—	2	4	no	—
32	C₄×#41	—	2	2	no	—
33	C₄×#41	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
37	C₂×#117	—	2	1	no	—
38	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#424	—	2	8	no	—
43	#424	—	4	4	no	—
44	#423	—	2	4	no	—
45	#423	—	2	2	no	—
46	#423	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
49	#421	—	2	8	no	—
50	#421	—	4	4	no	—
51	C₂×#104	—	2	8	no	—
52	#408	—	2	4	no	—
53	#408	—	2	4	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
55	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
62	#384	—	2	2	no	—
63	#382	—	2	2	no	—
64	#380	—	2	4	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
66	#341	—	2	8	no	—
67	#339	—	2	8	no	—
68	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
69	#336	—	2	4	no	—
70	#336	—	2	8	no	—
71	C₂×#41	—	2	2	no	—
72	C₂×#41	—	2	2	no	—
73	C₂×#41	—	2	2	no	—
74	C₂×#41	—	2	2	no	—
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
79	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
105	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	#117	—	2	4	no	—
112	#117	—	2	4	no	—
113	#117	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	2	no	—
116	#117	—	2	2	no	—
117	#117	—	4	2	no	—
118	#117	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
129	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
130	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
138	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
139	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
140	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
141	#104	—	4	16	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
143	#97	—	2	4	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄×C₈	—	4	2	no	—
147	C₄×C₈	—	4	2	no	—
148	#95	—	2	8	no	—
149	C₂⁴	—	2	1	no	—
150	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	#41	—	2	4	no	—
152	#41	—	2	4	no	—
153	#41	—	2	4	no	—
154	#41	—	2	4	no	—
155	#41	—	4	2	no	—
156	#41	—	4	2	no	—
157	#41	—	4	2	no	—
158	#41	—	4	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₂×Q₈	#125	1	2	yes	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	1	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	1	no	—
169	C₂×D₄	—	4	1	no	—
170	C₂×D₄	#125	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
194	M₁₆	—	4	2	no	—
195	M₁₆	—	4	2	no	—
196	M₁₆	—	4	2	no	—
197	M₁₆	—	4	2	no	—
198	M₁₆	—	4	4	no	—
199	M₁₆	—	4	4	no	—
200	M₁₆	—	4	4	no	—
201	M₁₆	—	4	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	2	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄²	—	2	8	no	—
225	C₄²	—	2	8	no	—
226	C₄²	—	4	1	no	—
227	C₄²	—	4	1	no	—
228	C₄²	—	4	2	no	—
229	C₄²	—	4	2	no	—
230	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
231	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
232	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
234	C₄²	#123	1	2	yes	—
235	C₄²	#127	1	2	yes	—
236	C₄²	#127	1	2	yes	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	4	no	—
240	C₂³	—	4	1	no	—
241	C₂³	—	4	1	no	—
242	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
244	C₂³	#529	1	2	yes	—
245	C₂³	#540	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	#541	1	1	yes	characteristic
247	Q₈	—	2	4	no	—
248	Q₈	—	4	2	no	—
249	D₄	—	2	4	no	—
250	D₄	—	4	4	no	—
251	D₄	—	4	4	no	—
252	D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	16	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂×C₄	#399	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#399	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
287	C₈	—	4	4	no	—
288	C₈	—	4	4	no	—
289	C₈	—	8	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	4	1	no	—
294	C₂²	—	4	1	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	8	2	no	—
298	C₂²	—	8	2	no	—
299	C₂²	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#2420	1	2	yes	—
301	C₂²	#2421	1	2	yes	—
302	C₂²	#2629	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#2851	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	8	8	no	—
308	C₄	—	8	2	no	—
309	C₄	#2098	1	4	yes	—
310	C₄	#2439	1	2	yes	—
311	C₄	#2442	1	2	yes	—
312	C₄	#2485	1	2	yes	—
313	C₄	#2540	1	2	yes	—
314	C₂	—	2	2	no	—
315	C₂	—	2	1	no	—
316	C₂	—	2	1	no	—
317	C₂	—	2	2	no	—
318	C₂	—	8	2	no	—
319	C₂	#15223	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂×#2098	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#399
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21143	C₂	semidirect
2. #20769	C₂	semidirect
5. #11369	C₂	semidirect
7. #10837	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21143	2
#20769	2
#20654	2
C₄×#408	2
#11369	2
#11084	2
#10837	2