Subgroups — #416442

Order 512.

1086 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20769	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11181	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11157	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1982	—	2	4	no	—
22	#1965	—	2	4	no	—
23	#1961	—	2	2	no	—
24	#1957	—	2	2	no	—
25	#1838	—	2	2	no	—
26	#1837	—	2	2	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
30	#1738	C₂²	1	2	yes	—
31	#1738	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
34	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#127	—	2	1	no	—
41	C₂×#127	—	2	1	no	—
42	C₂×#127	—	2	2	no	—
43	C₂×#127	—	2	1	no	—
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	—	2	1	no	—
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#423	—	2	1	no	—
53	#423	—	2	1	no	—
54	#423	—	2	1	no	—
55	#423	—	2	1	no	—
56	#423	—	2	2	no	—
57	#423	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	#418	—	2	8	no	—
61	#418	—	4	4	no	—
62	#418	—	4	4	no	—
63	#418	—	4	4	no	—
64	C₂×#102	—	2	8	no	—
65	C₂×#102	—	2	4	no	—
66	C₂×#102	—	2	4	no	—
67	C₂×#100	—	2	8	no	—
68	C₂×#100	—	2	8	no	—
69	C₂×#100	—	4	4	no	—
70	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
71	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
72	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×#97	—	2	1	no	—
77	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
80	#384	—	2	1	no	—
81	#382	—	2	1	no	—
82	#380	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	#376	—	2	1	no	—
87	C₄³	—	2	1	no	—
88	#344	—	2	4	no	—
89	#344	—	2	4	no	—
90	#344	—	4	4	no	—
91	#341	—	2	4	no	—
92	#341	—	2	4	no	—
93	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
94	C₂⁵	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	#127	—	2	4	no	—
142	#127	—	2	4	no	—
143	#127	—	2	4	no	—
144	#127	—	2	4	no	—
145	#127	—	4	1	no	—
146	#127	—	4	1	no	—
147	#127	—	4	1	no	—
148	#127	—	4	1	no	—
149	#127	—	4	2	no	—
150	#127	—	4	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	#41	1	4	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
174	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
175	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
178	#102	—	4	16	no	—
179	#102	—	4	8	no	—
180	#102	—	4	8	no	—
181	#100	—	4	16	no	—
182	#97	—	2	2	no	—
183	#97	—	2	2	no	—
184	#97	—	4	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	4	2	no	—
188	#95	—	4	2	no	—
189	#95	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	2	no	—
193	C₂⁴	—	4	4	no	—
194	C₂⁴	—	4	4	no	—
195	C₂⁴	—	8	8	no	—
196	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	8	no	—
220	C₂×D₄	—	8	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	8	no	—
222	C₂×D₄	—	8	8	no	—
223	C₂×D₄	—	8	8	no	—
224	C₂×D₄	—	8	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	4	2	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	M₁₆	—	4	2	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	2	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	8	4	no	—
283	C₄²	#121	1	2	yes	—
284	C₄²	#121	1	2	yes	—
285	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	#123	1	2	yes	—
288	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	#123	1	2	yes	—
291	C₄²	#126	1	2	yes	—
292	C₄²	#126	1	2	yes	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	—	8	8	no	—
298	C₂³	—	8	8	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	—	16	8	no	—
303	C₂³	—	16	8	no	—
304	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	#529	1	2	yes	—
308	C₂³	#540	1	2	yes	—
309	D₄	—	4	8	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	8	8	no	—
313	D₄	—	8	8	no	—
314	D₄	—	8	8	no	—
315	D₄	—	8	8	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	#397	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#397	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#397	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#397	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	8	2	no	—
355	C₈	—	8	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	8	8	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	16	8	no	—
364	C₂²	—	16	8	no	—
365	C₂²	—	16	4	no	—
366	C₂²	—	16	4	no	—
367	C₂²	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2420	1	2	yes	—
369	C₂²	#2513	1	2	yes	—
370	C₂²	#2641	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2861	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	—	16	2	no	—
377	C₄	#2081	1	4	yes	—
378	C₄	#2420	1	2	yes	—
379	C₄	#2500	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2500	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2513	1	2	yes	—
382	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	16	4	no	—
389	C₂	#15224	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×#2081	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#397
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20769	C₂	semidirect
5. #11181	C₂	semidirect
6. #11157	C₂	semidirect
7. #10848	C₂	semidirect
8. #10836	C₂	semidirect
9. C₄×#344	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21260	2
C₂×#1965	2
#21203	2
#20769	2
#11181	2
#11157	2
#10848	2
#10836	2
C₄×#344	2