Subgroups — #416530

Order 512.

1648 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 454 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11161	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11135	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2858	—	2	2	no	—
17	#2641	—	2	2	no	—
18	#2548	—	2	2	no	—
19	#2548	—	2	2	no	—
20	#2435	—	2	4	no	—
21	#2309	C₂²	1	2	yes	—
22	#2309	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#390	—	2	4	no	—
24	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1994	—	2	4	no	—
29	#1992	—	2	2	no	—
30	#1990	—	2	2	no	—
31	#1965	—	2	4	no	—
32	#1948	—	2	2	no	—
33	#1947	—	2	2	no	—
34	#1736	C₂²	1	4	yes	—
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
40	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#533	—	2	2	no	—
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#127	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	—	2	1	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	2	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#124	—	2	4	no	—
57	C₂×#124	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#428	—	4	4	no	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#106	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×#100	—	2	8	no	—
76	C₂×#100	—	2	8	no	—
77	C₂×#100	—	4	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
82	#394	—	2	8	no	—
83	#394	—	2	8	no	—
84	#390	—	2	4	no	—
85	#390	—	2	4	no	—
86	#390	—	2	4	no	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	2	2	no	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#390	—	2	8	no	—
92	#390	—	4	4	no	—
93	#390	—	4	16	no	—
94	#384	—	2	2	no	—
95	#384	—	2	1	no	—
96	#384	—	2	1	no	—
97	#379	—	2	4	no	—
98	#379	—	2	4	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
102	#376	—	2	1	no	—
103	C₄³	—	2	1	no	—
104	C₄³	—	2	2	no	—
105	C₄³	—	2	2	no	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#340	—	2	8	no	—
108	#339	—	2	8	no	—
109	#339	—	2	4	no	—
110	#339	—	2	4	no	—
111	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	#127	—	4	2	no	—
148	#127	—	4	2	no	—
149	#127	—	4	4	no	—
150	#127	—	4	2	no	—
151	#127	—	4	2	no	—
152	#127	—	4	4	no	—
153	#125	—	2	4	no	—
154	#125	—	2	4	no	—
155	#124	—	8	8	no	—
156	#124	—	8	8	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
212	#107	—	4	4	no	—
213	#106	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
215	#100	—	4	16	no	—
216	#97	—	4	2	no	—
217	C₄×C₈	—	4	2	no	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	4	no	—
222	C₂⁴	—	2	4	no	—
223	C₂⁴	—	2	8	no	—
224	C₂⁴	—	2	8	no	—
225	C₂⁴	—	4	8	no	—
226	C₂⁴	—	4	8	no	—
227	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	32	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	8	4	no	—
255	C₂×D₄	—	8	4	no	—
256	C₂×D₄	—	8	16	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
285	M₁₆	—	2	4	no	—
286	M₁₆	—	2	4	no	—
287	M₁₆	—	2	8	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	2	no	—
290	M₁₆	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	2	4	no	—
323	C₄²	—	4	16	no	—
324	C₄²	—	4	2	no	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₄²	—	4	4	no	—
331	C₄²	—	4	4	no	—
332	C₄²	#121	1	2	yes	—
333	C₄²	#121	1	2	yes	—
334	C₄²	#121	1	4	yes	—
335	C₄²	#123	1	2	yes	—
336	C₄²	#123	1	2	yes	—
337	C₄²	#124	1	4	yes	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	2	2	no	—
340	C₂³	—	4	16	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	4	4	no	—
343	C₂³	—	4	4	no	—
344	C₂³	—	4	8	no	—
345	C₂³	—	4	8	no	—
346	C₂³	—	4	8	no	—
347	C₂³	—	4	8	no	—
348	C₂³	—	8	8	no	—
349	C₂³	—	8	16	no	—
350	C₂³	—	8	8	no	—
351	C₂³	—	8	8	no	—
352	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
353	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
354	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
355	C₂³	#546	1	2	yes	—
356	C₂³	#547	1	2	yes	—
357	Q₈	—	8	8	no	—
358	D₄	—	8	16	no	—
359	D₄	—	8	2	no	—
360	D₄	—	8	2	no	—
361	D₄	—	8	4	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	D₄	—	8	2	no	—
364	D₄	—	8	2	no	—
365	D₄	—	8	16	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	8	no	—
369	C₂×C₄	—	2	8	no	—
370	C₂×C₄	—	2	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	1	no	—
377	C₂×C₄	—	4	1	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	8	8	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
390	C₂×C₄	#453	1	4	yes	—
391	C₂×C₄	#455	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
410	C₈	—	4	4	no	—
411	C₈	—	4	4	no	—
412	C₂²	—	2	4	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	2	2	no	—
415	C₂²	—	2	2	no	—
416	C₂²	—	2	2	no	—
417	C₂²	—	8	16	no	—
418	C₂²	—	8	8	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	—	8	8	no	—
421	C₂²	—	8	4	no	—
422	C₂²	—	8	4	no	—
423	C₂²	—	16	8	no	—
424	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#2427	1	2	yes	—
426	C₂²	#2431	1	1	yes	characteristic
427	C₂²	#2432	1	1	yes	characteristic
428	C₂²	#2447	1	2	yes	—
429	C₂²	C₂×#453	1	2	yes	—
430	C₂²	C₂×#455	1	2	yes	—
431	C₄	—	2	4	no	—
432	C₄	—	4	8	no	—
433	C₄	—	8	2	no	—
434	C₄	—	8	4	no	—
435	C₄	—	8	1	no	—
436	C₄	—	8	1	no	—
437	C₄	—	16	2	no	—
438	C₄	#2037	1	8	yes	—
439	C₄	#2426	1	2	yes	—
440	C₄	#2448	1	2	yes	—
441	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
442	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
443	C₄	#2640	1	1	yes	characteristic
444	C₄	#2861	1	1	yes	characteristic
445	C₂	—	2	2	no	—
446	C₂	—	2	2	no	—
447	C₂	—	16	4	no	—
448	C₂	#15226	1	1	yes	characteristic
449	C₂	C₂×#2037	1	2	yes	—
450	C₂	#25588	1	1	yes	characteristic
451	C₂	#25590	1	1	yes	characteristic
452	C₂	#25687	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1994	C₂	semidirect
3. #21322	C₂	semidirect
5. #21171	C₂	semidirect
7. #11161	C₂	semidirect
8. #11135	C₂	semidirect
9. C₄×#339	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35285	2
C₂×#1994	2
#21322	2
C₂×#1965	2
#21171	2
#14713	2
#11161	2
#11135	2
C₄×#339	2