Subgroups — #416564

Order 512.

1850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11028	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#492	—	2	4	no	—
14	C₂×#492	—	2	4	no	—
15	C₂×#492	—	2	4	no	—
16	#3139	—	2	4	no	—
17	#3139	—	2	4	no	—
18	#3138	—	2	4	no	—
19	#3138	—	2	4	no	—
20	C₂×#491	—	2	2	no	—
21	C₂×#490	—	2	2	no	—
22	C₂×#487	—	2	2	no	—
23	C₂×#486	—	2	2	no	—
24	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1984	—	2	4	no	—
33	#1966	—	2	4	no	—
34	#1965	—	2	4	no	—
35	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
36	#1729	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	1	no	—
62	C₂×#127	—	2	1	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#492	—	2	32	no	—
75	#491	—	2	16	no	—
76	#490	—	2	16	no	—
77	#487	—	2	16	no	—
78	#486	—	2	16	no	—
79	#423	—	2	2	no	—
80	#423	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	#419	—	2	8	no	—
83	#419	—	2	8	no	—
84	#418	—	2	8	no	—
85	#418	—	2	8	no	—
86	C₂×#103	—	2	8	no	—
87	C₂×#102	—	2	8	no	—
88	C₂×#101	—	2	8	no	—
89	C₂×#101	—	4	8	no	—
90	C₂×#100	—	2	8	no	—
91	C₂×#100	—	4	8	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
95	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×#97	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
103	#341	—	2	8	no	—
104	#336	—	2	8	no	—
105	C₂⁵	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
163	#127	—	2	4	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	8	no	—
166	#127	—	4	2	no	—
167	#127	—	4	2	no	—
168	#127	—	4	4	no	—
169	#125	—	2	4	no	—
170	#125	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
173	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
174	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
196	#103	—	2	32	no	—
197	#102	—	2	32	no	—
198	#101	—	4	16	no	—
199	#100	—	4	16	no	—
200	#97	—	2	4	no	—
201	#97	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	8	no	—
203	C₄×C₈	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	4	2	no	—
207	C₂⁴	—	4	2	no	—
208	C₂⁴	—	4	8	no	—
209	C₂⁴	—	8	8	no	—
210	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	16	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	8	16	no	—
243	C₂×D₄	—	8	16	no	—
244	C₂×D₄	—	8	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
263	SD₁₆	—	4	64	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	#120	1	4	yes	—
294	C₄²	#120	1	2	yes	—
295	C₄²	#120	1	2	yes	—
296	C₄²	#120	1	2	yes	—
297	C₄²	#120	1	2	yes	—
298	C₄²	#127	1	4	yes	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	8	8	no	—
303	C₂³	—	8	8	no	—
304	C₂³	—	8	4	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	8	no	—
307	C₂³	—	16	16	no	—
308	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	#559	1	4	yes	—
312	Q₈	—	4	8	no	—
313	Q₈	—	4	8	no	—
314	Q₈	—	8	2	no	—
315	Q₈	—	8	2	no	—
316	Q₈	—	8	4	no	—
317	Q₈	—	8	8	no	—
318	D₄	—	4	8	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	8	16	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	4	no	—
324	D₄	—	8	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#471	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
350	C₈	—	2	8	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	2	8	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	16	8	no	—
360	C₂²	—	16	8	no	—
361	C₂²	—	16	8	no	—
362	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#2544	1	2	yes	—
364	C₂²	#2544	1	2	yes	—
365	C₂²	#2548	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×#471	1	4	yes	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	8	4	no	—
370	C₄	#2019	1	8	yes	—
371	C₄	#2431	1	2	yes	—
372	C₄	#2431	1	2	yes	—
373	C₄	#2435	1	2	yes	—
374	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	16	4	no	—
379	C₂	#15227	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#2019	1	2	yes	—
381	C₂	#28764	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3139	C₂	semidirect
4. #21300	C₂	semidirect
5. C₂×#1966	C₂	semidirect
7. #11028	C₂	semidirect
8. C₄×#341	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#492	2
C₂×#3139	2
C₂×#3138	2
#21300	2
C₂×#1966	2
C₂×#1965	2
#11028	2
C₄×#341	2