Subgroups — #416569

Order 512.

1696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 448 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1967	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11029	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11028	C₂	1	4	yes	maximal
9	#10705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#497	—	2	4	no	—
16	C₂×#497	—	2	4	no	—
17	C₂×#497	—	2	4	no	—
18	#3140	—	2	4	no	—
19	#3140	—	2	4	no	—
20	#3139	—	2	4	no	—
21	#3139	—	2	4	no	—
22	C₂×#491	—	2	2	no	—
23	C₂×#489	—	2	2	no	—
24	C₂×#488	—	2	2	no	—
25	C₂×#487	—	2	2	no	—
26	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1985	—	2	4	no	—
37	#1967	—	2	4	no	—
38	#1966	—	2	4	no	—
39	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
40	#1729	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	#533	—	2	2	no	—
59	#533	—	2	2	no	—
60	#533	—	2	2	no	—
61	#533	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×#124	—	2	2	no	—
72	C₂×#124	—	2	1	no	—
73	C₂×#124	—	2	1	no	—
74	C₂×#124	—	2	2	no	—
75	C₂×#124	—	2	2	no	—
76	C₂×#124	—	2	2	no	—
77	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#497	—	2	32	no	—
85	#491	—	2	16	no	—
86	#489	—	2	16	no	—
87	#488	—	2	16	no	—
88	#487	—	2	16	no	—
89	#423	—	2	2	no	—
90	#423	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
92	#419	—	2	8	no	—
93	#419	—	2	4	no	—
94	#419	—	2	8	no	—
95	#419	—	2	4	no	—
96	#418	—	2	4	no	—
97	#418	—	2	4	no	—
98	C₂×#103	—	2	8	no	—
99	C₂×#103	—	2	4	no	—
100	C₂×#102	—	2	4	no	—
101	C₂×#101	—	2	8	no	—
102	C₂×#101	—	2	4	no	—
103	C₂×#101	—	4	4	no	—
104	C₂×#101	—	4	4	no	—
105	C₂×#101	—	4	4	no	—
106	C₂×#100	—	2	4	no	—
107	C₂×#100	—	4	4	no	—
108	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
111	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
112	C₂×#97	—	2	2	no	—
113	C₂×#97	—	2	2	no	—
114	C₂×#97	—	2	1	no	—
115	C₂×#97	—	2	1	no	—
116	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
119	#341	—	2	8	no	—
120	#336	—	2	8	no	—
121	C₂⁵	—	2	1	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
166	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
168	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
173	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
183	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
188	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
189	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
190	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
191	#125	—	2	4	no	—
192	#125	—	2	4	no	—
193	#124	—	2	4	no	—
194	#124	—	2	4	no	—
195	#124	—	2	8	no	—
196	#124	—	4	2	no	—
197	#124	—	4	2	no	—
198	#124	—	4	4	no	—
199	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
201	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
203	#117	—	2	2	no	—
204	#117	—	2	2	no	—
205	#117	—	2	2	no	—
206	#117	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
228	#103	—	2	32	no	—
229	#103	—	2	16	no	—
230	#102	—	2	16	no	—
231	#101	—	4	8	no	—
232	#101	—	4	16	no	—
233	#100	—	4	8	no	—
234	#97	—	2	8	no	—
235	#97	—	2	4	no	—
236	#97	—	2	4	no	—
237	C₄×C₈	—	2	4	no	—
238	C₄×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂⁴	—	2	2	no	—
240	C₂⁴	—	4	1	no	—
241	C₂⁴	—	4	1	no	—
242	C₂⁴	—	4	4	no	—
243	C₂⁴	—	8	4	no	—
244	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
273	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
275	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
276	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
277	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
278	C₂×D₄	—	2	2	no	—
279	C₂×D₄	—	2	2	no	—
280	C₂×D₄	—	2	8	no	—
281	C₂×D₄	—	4	1	no	—
282	C₂×D₄	—	4	2	no	—
283	C₂×D₄	—	4	1	no	—
284	C₂×D₄	—	4	2	no	—
285	C₂×D₄	—	4	2	no	—
286	C₂×D₄	—	4	2	no	—
287	C₂×D₄	—	4	2	no	—
288	C₂×D₄	—	4	2	no	—
289	C₂×D₄	—	4	4	no	—
290	C₂×D₄	—	4	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
305	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
313	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
314	Q₁₆	—	4	32	no	—
315	SD₁₆	—	4	32	no	—
316	M₁₆	—	2	4	no	—
317	M₁₆	—	2	4	no	—
318	M₁₆	—	2	4	no	—
319	M₁₆	—	2	4	no	—
320	M₁₆	—	4	4	no	—
321	M₁₆	—	4	4	no	—
322	M₁₆	—	4	2	no	—
323	M₁₆	—	4	2	no	—
324	M₁₆	—	4	4	no	—
325	C₂×C₈	—	2	4	no	—
326	C₂×C₈	—	2	4	no	—
327	C₂×C₈	—	2	8	no	—
328	C₂×C₈	—	2	8	no	—
329	C₂×C₈	—	2	4	no	—
330	C₂×C₈	—	2	4	no	—
331	C₂×C₈	—	4	4	no	—
332	C₂×C₈	—	4	4	no	—
333	C₂×C₈	—	4	2	no	—
334	C₂×C₈	—	4	4	no	—
335	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
336	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
338	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
339	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
340	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
341	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
346	C₄²	—	4	2	no	—
347	C₄²	—	4	2	no	—
348	C₄²	#120	1	2	yes	—
349	C₄²	#120	1	2	yes	—
350	C₄²	#120	1	4	yes	—
351	C₄²	#120	1	2	yes	—
352	C₄²	#120	1	2	yes	—
353	C₄²	#127	1	4	yes	—
354	C₂³	—	2	4	no	—
355	C₂³	—	4	2	no	—
356	C₂³	—	4	4	no	—
357	C₂³	—	8	4	no	—
358	C₂³	—	8	4	no	—
359	C₂³	—	8	2	no	—
360	C₂³	—	8	2	no	—
361	C₂³	—	8	4	no	—
362	C₂³	—	16	8	no	—
363	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
364	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
365	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
366	C₂³	#559	1	4	yes	—
367	Q₈	—	4	4	no	—
368	Q₈	—	4	8	no	—
369	Q₈	—	4	4	no	—
370	Q₈	—	4	4	no	—
371	Q₈	—	4	4	no	—
372	Q₈	—	8	8	no	—
373	Q₈	—	8	1	no	—
374	Q₈	—	8	2	no	—
375	Q₈	—	8	1	no	—
376	Q₈	—	8	2	no	—
377	Q₈	—	8	4	no	—
378	Q₈	—	8	2	no	—
379	D₄	—	4	4	no	—
380	D₄	—	4	4	no	—
381	D₄	—	8	1	no	—
382	D₄	—	8	1	no	—
383	D₄	—	8	2	no	—
384	C₂×C₄	—	2	4	no	—
385	C₂×C₄	—	2	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	2	no	—
390	C₂×C₄	—	4	4	no	—
391	C₂×C₄	—	4	8	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	4	8	no	—
394	C₂×C₄	—	8	2	no	—
395	C₂×C₄	—	8	4	no	—
396	C₂×C₄	—	8	2	no	—
397	C₂×C₄	—	8	2	no	—
398	C₂×C₄	—	8	2	no	—
399	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
400	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
401	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
410	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
411	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
412	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
413	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
414	C₈	—	2	8	no	—
415	C₈	—	4	4	no	—
416	C₈	—	4	4	no	—
417	C₈	—	8	2	no	—
418	C₂²	—	2	8	no	—
419	C₂²	—	2	2	no	—
420	C₂²	—	2	2	no	—
421	C₂²	—	8	2	no	—
422	C₂²	—	8	4	no	—
423	C₂²	—	16	4	no	—
424	C₂²	—	16	4	no	—
425	C₂²	—	16	4	no	—
426	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
427	C₂²	#2544	1	2	yes	—
428	C₂²	#2544	1	2	yes	—
429	C₂²	#2548	1	2	yes	—
430	C₂²	#3069	1	4	yes	—
431	C₄	—	2	4	no	—
432	C₄	—	2	4	no	—
433	C₄	—	8	2	no	—
434	C₄	—	8	4	no	—
435	C₄	—	8	4	no	—
436	C₄	#2431	1	2	yes	—
437	C₄	#2431	1	2	yes	—
438	C₄	#2435	1	2	yes	—
439	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
440	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
441	C₂	—	2	2	no	—
442	C₂	—	2	2	no	—
443	C₂	—	16	2	no	—
444	C₂	#15227	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#23440	1	2	yes	—
446	C₂	#28767	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#3139	C₂	semidirect
4. #21301	C₂	semidirect
6. C₂×#1966	C₂	semidirect
7. #11029	C₂	semidirect
9. #10705	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#497	2
C₂×#3140	2
C₂×#3139	2
#21301	2
C₂×#1967	2
C₂×#1966	2
#11029	2
#11028	2
#10705	2