Subgroups — #416610

Order 512.

1856 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#490	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#21188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11020	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#10705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3151	—	2	4	no	—
14	#3151	—	2	4	no	—
15	C₂×#496	—	2	2	no	—
16	C₂×#493	—	2	1	no	—
17	C₂×#492	—	2	1	no	—
18	#3142	—	2	4	no	—
19	#3142	—	2	4	no	—
20	C₂×#491	—	2	1	no	—
21	C₂×#490	—	2	4	no	—
22	C₂×#490	—	2	4	no	—
23	C₂×#490	—	2	1	no	—
24	C₂×#490	—	2	4	no	—
25	C₂×#488	—	2	2	no	—
26	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1998	—	2	4	no	—
35	#1965	—	2	4	no	—
36	#1955	—	2	4	no	—
37	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
43	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
44	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	—	2	1	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×#125	—	2	2	no	—
66	C₂×#125	—	2	1	no	—
67	C₂×#125	—	2	2	no	—
68	C₂×#125	—	2	2	no	—
69	C₂×#125	—	2	1	no	—
70	C₂×#125	—	2	2	no	—
71	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×#121	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#496	—	2	16	no	—
79	#493	—	2	8	no	—
80	#492	—	2	8	no	—
81	#491	—	2	8	no	—
82	#490	—	2	32	no	—
83	#490	—	2	8	no	—
84	#488	—	2	16	no	—
85	#423	—	2	2	no	—
86	#423	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	#417	—	2	8	no	—
89	#417	—	2	8	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	8	no	—
93	C₂×#102	—	2	8	no	—
94	C₂×#102	—	2	8	no	—
95	C₂×#100	—	2	8	no	—
96	C₂×#100	—	4	8	no	—
97	#408	—	4	8	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
102	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
103	C₂×#97	—	2	2	no	—
104	C₂×#97	—	2	2	no	—
105	C₂×#97	—	2	1	no	—
106	C₂×#97	—	2	1	no	—
107	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	#343	—	2	8	no	—
111	#341	—	2	8	no	—
112	C₂⁵	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	8	no	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
134	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
141	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
142	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
145	C₂×D₈	—	2	16	no	—
146	C₂×D₈	—	4	16	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
168	#127	—	2	8	no	—
169	#127	—	2	4	no	—
170	#127	—	2	4	no	—
171	#127	—	2	2	no	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#127	—	4	2	no	—
174	#127	—	4	2	no	—
175	#127	—	4	4	no	—
176	#125	—	2	4	no	—
177	#125	—	2	8	no	—
178	#125	—	2	4	no	—
179	#125	—	4	2	no	—
180	#125	—	4	2	no	—
181	#125	—	4	4	no	—
182	#124	—	2	4	no	—
183	#124	—	2	4	no	—
184	#121	—	4	4	no	—
185	#121	—	4	4	no	—
186	C₄×D₄	—	4	4	no	—
187	C₄×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
208	#103	—	2	16	no	—
209	#102	—	2	32	no	—
210	#102	—	2	16	no	—
211	#100	—	4	16	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
213	#97	—	2	8	no	—
214	#97	—	2	4	no	—
215	#97	—	2	4	no	—
216	C₄×C₈	—	2	4	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂⁴	—	2	2	no	—
219	C₂⁴	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	4	2	no	—
221	C₂⁴	—	4	2	no	—
222	C₂⁴	—	4	8	no	—
223	C₂⁴	—	8	8	no	—
224	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	4	4	no	—
227	#41	—	4	4	no	—
228	#41	—	4	4	no	—
229	#41	—	4	8	no	—
230	#41	—	4	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	8	no	—
239	C₂×D₄	—	2	16	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	—	8	8	no	—
259	C₂×D₄	—	8	16	no	—
260	C₂×D₄	—	8	16	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
271	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
283	SD₁₆	—	4	32	no	—
284	D₈	—	4	32	no	—
285	M₁₆	—	2	4	no	—
286	M₁₆	—	2	8	no	—
287	M₁₆	—	2	4	no	—
288	M₁₆	—	2	4	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	M₁₆	—	4	4	no	—
291	M₁₆	—	4	4	no	—
292	M₁₆	#124	1	8	yes	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₂×C₈	—	4	4	no	—
301	C₂×C₈	—	4	4	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄²	#120	1	2	yes	—
313	C₄²	#120	1	2	yes	—
314	C₄²	#120	1	4	yes	—
315	C₄²	#120	1	2	yes	—
316	C₄²	#120	1	2	yes	—
317	C₄²	#127	1	4	yes	—
318	C₂³	—	2	4	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	8	no	—
324	C₂³	—	8	8	no	—
325	C₂³	—	8	8	no	—
326	C₂³	—	8	4	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	—	8	8	no	—
329	C₂³	—	16	16	no	—
330	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#559	1	4	yes	—
334	Q₈	—	4	4	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	4	8	no	—
340	D₄	—	8	8	no	—
341	D₄	—	8	16	no	—
342	D₄	—	8	16	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	D₄	—	8	2	no	—
346	D₄	—	8	2	no	—
347	D₄	—	8	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
376	C₈	—	2	8	no	—
377	C₈	—	4	4	no	—
378	C₈	—	4	4	no	—
379	C₈	—	8	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	8	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	8	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	8	8	no	—
388	C₂²	—	16	8	no	—
389	C₂²	—	16	8	no	—
390	C₂²	—	16	8	no	—
391	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2544	1	2	yes	—
393	C₂²	#2544	1	2	yes	—
394	C₂²	#2548	1	2	yes	—
395	C₂²	#3068	1	4	yes	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	2	4	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	#2431	1	2	yes	—
401	C₄	#2431	1	2	yes	—
402	C₄	#2435	1	2	yes	—
403	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	16	2	no	—
408	C₂	—	16	4	no	—
409	C₂	#15227	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#23439	1	2	yes	—
411	C₂	#28635	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#3151	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3142	C₂	semidirect
3. C₂²×#490	C₂	semidirect
4. C₂×#1998	C₂	semidirect
5. C₂×#1965	C₂	semidirect
6. #21188	C₂	semidirect
7. #11020	C₂	semidirect
8. #10705	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3151	2
C₂×#3142	2
C₂²×#490	2
C₂×#1998	2
C₂×#1965	2
#21188	2
#11020	2
#10705	2