Subgroups — #416611

Order 512.

1684 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#21188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11021	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#10705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3152	—	2	4	no	—
14	#3152	—	2	4	no	—
15	C₂×#497	—	2	2	no	—
16	C₂×#494	—	2	1	no	—
17	C₂×#492	—	2	1	no	—
18	#3142	—	2	4	no	—
19	#3142	—	2	4	no	—
20	C₂×#491	—	2	4	no	—
21	C₂×#491	—	2	4	no	—
22	C₂×#491	—	2	1	no	—
23	C₂×#491	—	2	4	no	—
24	C₂×#490	—	2	1	no	—
25	C₂×#488	—	2	2	no	—
26	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1998	—	2	4	no	—
35	#1966	—	2	4	no	—
36	#1955	—	2	4	no	—
37	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#137	—	2	8	no	—
42	C₂×#137	—	2	8	no	—
43	C₂×#137	—	2	16	no	—
44	C₂×#137	—	4	8	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#125	—	2	2	no	—
65	C₂×#125	—	2	1	no	—
66	C₂×#125	—	2	1	no	—
67	C₂×#125	—	2	2	no	—
68	C₂×#125	—	2	2	no	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×#121	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#497	—	2	16	no	—
79	#494	—	2	8	no	—
80	#492	—	2	8	no	—
81	#491	—	2	32	no	—
82	#491	—	2	8	no	—
83	#490	—	2	8	no	—
84	#488	—	2	16	no	—
85	#423	—	2	2	no	—
86	#423	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	#417	—	2	8	no	—
89	#417	—	2	8	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#103	—	2	8	no	—
92	C₂×#103	—	2	8	no	—
93	C₂×#103	—	2	8	no	—
94	C₂×#102	—	2	4	no	—
95	C₂×#101	—	2	8	no	—
96	C₂×#101	—	4	8	no	—
97	#408	—	4	8	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
102	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
103	C₂×#97	—	2	2	no	—
104	C₂×#97	—	2	2	no	—
105	C₂×#97	—	2	1	no	—
106	C₂×#97	—	2	1	no	—
107	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	#343	—	2	8	no	—
111	#341	—	2	8	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	8	no	—
117	C₂×#41	—	2	8	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	#137	—	4	32	no	—
136	#137	—	4	16	no	—
137	#137	—	4	16	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	#127	—	2	2	no	—
170	#127	—	2	2	no	—
171	#125	—	2	4	no	—
172	#125	—	2	4	no	—
173	#125	—	2	8	no	—
174	#125	—	4	2	no	—
175	#125	—	4	2	no	—
176	#125	—	4	4	no	—
177	#124	—	2	4	no	—
178	#124	—	2	4	no	—
179	#121	—	4	4	no	—
180	#121	—	4	4	no	—
181	C₄×D₄	—	4	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
207	#103	—	2	32	no	—
208	#103	—	2	16	no	—
209	#102	—	2	16	no	—
210	#101	—	4	16	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
212	#97	—	2	8	no	—
213	#97	—	2	4	no	—
214	#97	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	4	no	—
216	C₄×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	2	2	no	—
218	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	4	4	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	4	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	8	no	—
224	#41	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	Q₁₆	—	4	32	no	—
276	SD₁₆	—	4	32	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	8	no	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	M₁₆	—	2	4	no	—
281	M₁₆	—	4	4	no	—
282	M₁₆	—	4	4	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	M₁₆	#124	1	8	yes	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	8	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	4	4	no	—
292	C₂×C₈	—	4	4	no	—
293	C₂×C₈	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄²	#120	1	2	yes	—
307	C₄²	#120	1	2	yes	—
308	C₄²	#120	1	4	yes	—
309	C₄²	#120	1	2	yes	—
310	C₄²	#120	1	2	yes	—
311	C₄²	#127	1	4	yes	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#559	1	4	yes	—
320	Q₈	—	4	8	no	—
321	Q₈	—	4	4	no	—
322	Q₈	—	4	8	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	8	2	no	—
325	Q₈	—	8	2	no	—
326	Q₈	—	8	4	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	8	8	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
364	C₈	—	2	8	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	8	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2544	1	2	yes	—
376	C₂²	#2544	1	2	yes	—
377	C₂²	#2548	1	2	yes	—
378	C₂²	#3069	1	4	yes	—
379	C₄	—	2	4	no	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	#2431	1	2	yes	—
385	C₄	#2431	1	2	yes	—
386	C₄	#2435	1	2	yes	—
387	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	16	2	no	—
392	C₂	#15227	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#23440	1	2	yes	—
394	C₂	#28634	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂²×#491	C₂	semidirect
4. C₂×#1998	C₂	semidirect
5. C₂×#1966	C₂	semidirect
7. #11021	C₂	semidirect
8. #10705	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3152	2
C₂×#3142	2
C₂²×#491	2
C₂×#1998	2
C₂×#1966	2
#21188	2
#11021	2
#10705	2