Subgroups — #416624

Order 512.

2112 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 425 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#35274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2641	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10997	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3142	—	2	4	no	—
14	#3142	—	2	4	no	—
15	C₂×#491	—	2	1	no	—
16	C₂×#490	—	2	1	no	—
17	C₂×#488	—	2	2	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2867	—	2	1	no	—
24	#2858	—	2	1	no	—
25	#2657	—	2	2	no	—
26	#2641	—	2	4	no	—
27	#2641	—	2	4	no	—
28	#2541	—	2	4	no	—
29	#2433	—	2	4	no	—
30	C₂×#394	—	2	4	no	—
31	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1989	—	2	4	no	—
35	#1965	—	2	4	no	—
36	#1963	—	2	4	no	—
37	#1736	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	#535	—	2	16	no	—
45	#535	—	4	8	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	—	2	4	no	—
52	C₂×#127	—	2	8	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#125	—	2	2	no	—
62	C₂×#125	—	2	1	no	—
63	C₂×#125	—	2	1	no	—
64	C₂×#125	—	2	2	no	—
65	C₂×#125	—	2	2	no	—
66	C₂×#125	—	2	2	no	—
67	C₂×#125	D₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×#124	—	2	4	no	—
69	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×#121	—	2	8	no	—
72	C₂×#120	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#491	—	2	8	no	—
81	#490	—	2	8	no	—
82	#488	—	2	16	no	—
83	#423	—	2	2	no	—
84	#423	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×#104	—	2	8	no	—
87	C₂×#104	—	4	8	no	—
88	#417	—	2	8	no	—
89	#417	—	2	8	no	—
90	C₂×#103	—	2	4	no	—
91	C₂×#102	—	2	4	no	—
92	C₂×#100	—	2	8	no	—
93	C₂×#100	—	4	8	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	#394	—	2	32	no	—
99	#392	—	2	16	no	—
100	#390	—	2	8	no	—
101	#390	—	2	8	no	—
102	#390	—	2	8	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
105	#376	—	2	2	no	—
106	#376	—	2	1	no	—
107	#376	D₄	1	4	yes	complemented
108	C₂×#95	—	2	2	no	—
109	C₄³	—	2	1	no	—
110	#340	—	2	8	no	—
111	#339	—	2	8	no	—
112	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	8	no	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	4	16	no	—
156	#127	—	4	2	no	—
157	#127	—	4	2	no	—
158	#127	—	4	4	no	—
159	#127	—	4	2	no	—
160	#127	—	4	2	no	—
161	#127	—	4	4	no	—
162	#127	—	8	16	no	—
163	#125	—	2	4	no	—
164	#125	—	2	4	no	—
165	#125	—	2	8	no	—
166	#125	—	4	2	no	—
167	#125	—	4	2	no	—
168	#125	—	4	4	no	—
169	#124	—	2	4	no	—
170	#124	—	2	4	no	—
171	#124	—	4	16	no	—
172	#121	—	4	16	no	—
173	#121	—	4	4	no	—
174	#121	—	4	4	no	—
175	#121	—	4	16	no	—
176	#120	—	4	32	no	—
177	C₄×D₄	—	4	4	no	—
178	C₄×D₄	—	4	4	no	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	#41	1	8	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
211	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
212	#104	—	4	16	no	—
213	#103	—	2	16	no	—
214	#102	—	2	16	no	—
215	#100	—	4	16	no	—
216	#97	—	2	4	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	#95	—	2	8	no	—
219	#95	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	4	no	—
222	C₂⁴	—	2	2	no	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	16	no	—
225	C₂⁴	—	4	16	no	—
226	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	#41	—	4	4	no	—
228	#41	—	4	4	no	—
229	#41	—	4	4	no	—
230	#41	—	4	4	no	—
231	#41	—	4	8	no	—
232	#41	—	4	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	32	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	4	8	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	8	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	8	8	no	—
262	C₂×D₄	—	8	16	no	—
263	C₂×D₄	—	8	16	no	—
264	C₂×D₄	—	8	32	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
291	M₁₆	—	2	4	no	—
292	M₁₆	—	2	4	no	—
293	M₁₆	—	4	4	no	—
294	M₁₆	—	4	4	no	—
295	M₁₆	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
313	C₄²	—	2	8	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	4	8	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	#120	1	2	yes	—
319	C₄²	#120	1	2	yes	—
320	C₄²	#121	1	4	yes	—
321	C₄²	#121	1	2	yes	—
322	C₄²	#121	1	2	yes	—
323	C₄²	#127	1	4	yes	—
324	C₂³	—	2	4	no	—
325	C₂³	—	4	16	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	4	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	16	no	—
333	C₂³	—	4	8	no	—
334	C₂³	—	8	32	no	—
335	C₂³	—	8	8	no	—
336	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#546	1	4	yes	—
340	Q₈	—	4	4	no	—
341	Q₈	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	4	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	8	8	no	—
345	D₄	—	8	16	no	—
346	D₄	—	8	16	no	—
347	D₄	—	8	4	no	—
348	D₄	—	8	4	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	D₄	—	16	32	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	8	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	8	8	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	4	no	—
373	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
388	C₈	—	4	4	no	—
389	C₈	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	2	8	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	8	16	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	8	16	no	—
396	C₂²	—	8	8	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	16	8	no	—
401	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2431	1	2	yes	—
403	C₂²	#2435	1	2	yes	—
404	C₂²	#2544	1	2	yes	—
405	C₂²	#3019	1	4	yes	—
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	2	4	no	—
408	C₄	—	4	8	no	—
409	C₄	—	8	4	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	#2431	1	2	yes	—
413	C₄	#2544	1	2	yes	—
414	C₄	#2548	1	2	yes	—
415	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
417	C₂	—	2	2	no	—
418	C₂	—	2	2	no	—
419	C₂	—	16	2	no	—
420	C₂	—	16	4	no	—
421	C₂	#15227	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#23402	1	2	yes	—
423	C₂	#25878	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#35274	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3142	C₂	semidirect
3. C₂×#2641	C₂	semidirect
4. #21314	C₂	semidirect
5. C₂×#1965	C₂	semidirect
6. C₂×#1963	C₂	semidirect
7. #10997	C₂	semidirect
8. #10701	C₂	semidirect
67. C₂×#125	D₄	semidirect
95. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
107. #376	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3142	2
#35274	2
C₂×#2641	2
#21314	2
C₂×#1965	2
C₂×#1963	2
#10997	2
#10701	2