Subgroups — #416644

Order 512.

1756 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11017	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3152	—	2	4	no	—
14	#3152	—	2	4	no	—
15	C₂×#497	—	2	2	no	—
16	C₂×#494	—	2	1	no	—
17	C₂×#492	—	2	1	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2861	—	2	2	no	—
23	#2642	—	2	4	no	—
24	#2642	—	2	1	no	—
25	#2642	—	2	4	no	—
26	#2641	—	2	1	no	—
27	#2591	—	2	4	no	—
28	#2562	—	2	4	no	—
29	C₂×#400	—	2	4	no	—
30	#2311	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1998	—	2	4	no	—
35	#1981	—	2	4	no	—
36	#1963	—	2	4	no	—
37	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#137	—	2	8	no	—
42	C₂×#137	—	2	8	no	—
43	C₂×#137	—	2	16	no	—
44	C₂×#137	—	4	8	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#125	—	2	2	no	—
63	C₂×#125	—	2	1	no	—
64	C₂×#125	—	2	1	no	—
65	C₂×#125	—	2	2	no	—
66	C₂×#125	—	2	2	no	—
67	C₂×#125	—	2	2	no	—
68	C₂×#125	—	2	2	no	—
69	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#497	—	2	16	no	—
79	#494	—	2	8	no	—
80	#492	—	2	8	no	—
81	#423	—	2	2	no	—
82	#423	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×#104	—	2	8	no	—
85	C₂×#104	—	4	8	no	—
86	#419	—	4	8	no	—
87	C₂×#103	—	2	8	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	#400	—	2	8	no	—
93	#400	—	2	32	no	—
94	#394	—	2	8	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	8	no	—
97	#391	—	2	8	no	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#388	—	2	16	no	—
100	#386	—	2	8	no	—
101	#380	—	2	8	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
104	#376	—	2	1	no	—
105	#376	—	2	2	no	—
106	#376	D₄	1	4	yes	—
107	C₂×#95	—	2	2	no	—
108	C₂×#95	—	2	8	no	—
109	C₄³	—	2	1	no	—
110	#343	—	2	8	no	—
111	#339	—	2	8	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	8	no	—
117	C₂×#41	—	2	8	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#137	—	4	32	no	—
137	#137	—	4	16	no	—
138	#137	—	4	16	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	#127	—	2	2	no	—
162	#125	—	4	2	no	—
163	#125	—	4	2	no	—
164	#125	—	4	4	no	—
165	#125	—	4	2	no	—
166	#125	—	4	2	no	—
167	#125	—	4	4	no	—
168	#124	—	2	4	no	—
169	#124	—	2	4	no	—
170	#121	—	4	4	no	—
171	#121	—	4	4	no	—
172	C₄×D₄	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
209	#104	—	4	16	no	—
210	#103	—	4	16	no	—
211	#97	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	#95	—	2	32	no	—
214	#95	—	2	16	no	—
215	#95	—	2	8	no	—
216	#95	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	2	2	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	4	4	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	4	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	8	no	—
224	#41	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
279	Q₁₆	—	4	32	no	—
280	SD₁₆	—	4	32	no	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	2	8	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	M₁₆	—	4	4	no	—
285	M₁₆	#124	1	8	yes	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	4	4	no	—
307	C₄²	—	4	4	no	—
308	C₄²	—	8	4	no	—
309	C₄²	#120	1	2	yes	—
310	C₄²	#120	1	2	yes	—
311	C₄²	#121	1	4	yes	—
312	C₄²	#121	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₄²	#127	1	4	yes	—
315	C₂³	—	2	4	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	—	4	8	no	—
319	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	#550	1	4	yes	—
323	Q₈	—	4	8	no	—
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	Q₈	—	4	8	no	—
326	Q₈	—	4	4	no	—
327	Q₈	—	8	2	no	—
328	Q₈	—	8	2	no	—
329	Q₈	—	8	4	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	8	8	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
372	C₈	—	2	8	no	—
373	C₈	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	2	8	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	8	8	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	2	no	—
380	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2431	1	2	yes	—
382	C₂²	#2431	1	2	yes	—
383	C₂²	#2548	1	2	yes	—
384	C₂²	#3022	1	4	yes	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	8	4	no	—
388	C₄	—	8	4	no	—
389	C₄	—	8	4	no	—
390	C₄	—	8	2	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	#2435	1	2	yes	—
393	C₄	#2544	1	2	yes	—
394	C₄	#2544	1	2	yes	—
395	C₄	#2657	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	2	2	no	—
399	C₂	—	16	2	no	—
400	C₂	#15227	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#23401	1	2	yes	—
402	C₂	#25619	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#2642	C₂	semidirect
4. C₂×#1998	C₂	semidirect
5. #21259	C₂	semidirect
7. #11017	C₂	semidirect
8. #10701	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3152	2
#35341	2
C₂×#2642	2
C₂×#1998	2
#21259	2
C₂×#1963	2
#11017	2
#10701	2