Subgroups — #416728

Order 512.

1276 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 266 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1835	C₂	1	2	yes	maximal
3	#14707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11384	C₂	1	4	yes	maximal
5	#11208	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10842	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	#2862	—	2	8	no	—
11	C₂×#391	—	2	4	no	—
12	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1835	—	2	8	no	—
19	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
23	#1436	—	2	4	no	—
24	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
26	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
27	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
28	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
29	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
30	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
42	#391	—	2	32	no	—
43	#389	—	2	8	no	—
44	#382	—	2	8	no	—
45	#382	—	2	4	no	—
46	#382	—	2	2	no	—
47	#382	—	2	4	no	—
48	#382	D₄	1	8	yes	—
49	#382	Q₈	1	4	yes	complemented
50	C₂×#95	—	2	2	no	—
51	C₂×#95	—	2	4	no	—
52	C₂×#95	—	2	4	no	—
53	C₂×#95	—	2	4	no	—
54	C₂×#95	—	2	2	no	—
55	C₂×#95	—	2	2	no	—
56	C₄³	—	2	4	no	—
57	#340	—	2	16	no	—
58	#340	—	4	8	no	—
59	#336	—	2	4	no	—
60	#336	—	2	4	no	—
61	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
62	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
63	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
64	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
65	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
67	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
69	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
80	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
108	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
109	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
110	C₄×C₈	—	2	16	no	—
111	#95	—	2	16	no	—
112	#95	—	2	16	no	—
113	#95	—	2	8	no	—
114	#95	—	4	4	no	—
115	#95	—	4	4	no	—
116	#95	—	4	8	no	—
117	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
119	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
120	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
121	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
122	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂×C₈	—	2	8	no	—
163	C₂×C₈	—	2	8	no	—
164	C₂×C₈	—	4	4	no	—
165	C₂×C₈	—	4	4	no	—
166	C₂×C₈	—	4	4	no	—
167	C₂×C₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
171	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
175	C₄²	—	2	8	no	—
176	C₄²	—	2	8	no	—
177	C₄²	—	4	16	no	—
178	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
179	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
180	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
181	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
183	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
185	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
186	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
187	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
188	C₂³	#575	1	4	yes	—
189	Q₈	—	8	32	no	—
190	C₂×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂×C₄	—	4	16	no	—
207	C₂×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂×C₄	—	8	2	no	—
209	C₂×C₄	—	8	2	no	—
210	C₂×C₄	—	8	4	no	—
211	C₂×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂×C₄	—	8	8	no	—
213	C₂×C₄	—	8	2	no	—
214	C₂×C₄	—	8	2	no	—
215	C₂×C₄	—	8	2	no	—
216	C₂×C₄	—	8	4	no	—
217	C₂×C₄	—	8	4	no	—
218	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
219	C₂×C₄	#488	1	8	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
223	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
224	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
225	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
230	C₈	—	4	8	no	—
231	C₂²	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
232	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
233	C₂²	#2436	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	#2568	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	#2660	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#2862	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	#3002	1	4	yes	—
239	C₂²	#3076	1	4	yes	—
240	C₂²	C₂×#488	1	2	yes	—
241	C₂²	#3131	1	2	yes	—
242	C₂²	#3140	1	2	yes	—
243	C₂²	#3140	1	2	yes	—
244	C₂²	#3160	1	2	yes	—
245	C₂²	#3162	1	2	yes	—
246	C₂²	#3211	1	4	yes	—
247	C₂²	#3233	1	4	yes	—
248	C₄	—	2	8	no	—
249	C₄	—	2	8	no	—
250	C₄	—	4	4	no	—
251	C₄	—	8	8	no	—
252	C₄	—	8	4	no	—
253	C₄	—	16	2	no	—
254	C₄	#2439	1	4	yes	—
255	C₄	#2550	1	4	yes	—
256	C₂	#15230	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#23551	1	2	yes	—
258	C₂	#25859	1	2	yes	—
259	C₂	#25906	1	2	yes	—
260	C₂	#29142	1	2	yes	—
261	C₂	#29222	1	2	yes	—
262	C₂	#30306	1	2	yes	—
263	C₂	#33290	1	1	yes	characteristic
264	C₂	#33298	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
41. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
49. #382	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2862	2
C₂×#1835	2
#14707	2
#11384	2
#11208	2
#10842	2
C₄×#336	2