Subgroups — #417109

Order 512.

1978 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2547	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1988	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11096	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₄×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#124	—	2	2	no	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#500	—	2	4	no	—
11	C₂×#500	—	2	8	no	—
12	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2547	—	2	8	no	—
17	#2547	—	2	8	no	—
18	C₂×#397	—	2	4	no	—
19	C₂×#391	—	2	2	no	—
20	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#1988	—	2	8	no	—
23	#1954	—	2	4	no	—
24	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
27	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
37	C₂×#124	—	2	16	no	—
38	C₂×#124	—	4	8	no	—
39	C₂×#124	—	4	8	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#500	—	2	32	no	—
53	C₂×#107	—	2	8	no	—
54	C₂×#107	—	2	16	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
61	#397	—	2	32	no	—
62	#391	—	2	16	no	—
63	#380	—	2	16	no	—
64	#380	—	2	16	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
67	C₂×#95	—	2	2	no	—
68	C₂×#95	—	2	8	no	—
69	#340	—	2	8	no	—
70	#340	—	2	16	no	—
71	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
74	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
76	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
77	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
78	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	D₈	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
107	#124	—	4	64	no	—
108	C₄×D₄	—	4	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	8	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
138	#107	—	2	32	no	—
139	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
140	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
141	C₄×C₈	—	2	8	no	—
142	#95	—	2	32	no	—
143	#95	—	2	8	no	—
144	C₂⁴	—	2	4	no	—
145	C₂⁴	—	2	2	no	—
146	C₂⁴	—	2	8	no	—
147	C₂⁴	—	2	2	no	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	—	2	8	no	—
150	C₂⁴	C₂×D₈	1	4	yes	—
151	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
153	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
154	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
155	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
156	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
157	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
158	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	16	no	—
160	C₂×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	8	no	—
163	C₂×D₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	16	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	8	no	—
208	C₂×C₈	#124	1	8	yes	complemented
209	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
220	C₄²	—	4	16	no	—
221	C₄²	#120	1	4	yes	—
222	C₄²	#121	1	8	yes	—
223	C₄²	#127	1	4	yes	—
224	C₂³	—	2	16	no	—
225	C₂³	—	2	8	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	4	8	no	—
228	C₂³	—	4	16	no	—
229	C₂³	—	4	2	no	—
230	C₂³	—	4	8	no	—
231	C₂³	—	4	4	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	4	4	no	—
235	C₂³	—	4	4	no	—
236	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
237	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	#547	1	4	yes	—
239	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
242	C₂³	#578	1	4	yes	—
243	Q₈	—	8	32	no	—
244	D₄	—	4	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	8	8	no	—
257	C₂×C₄	—	8	8	no	—
258	C₂×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂×C₄	—	8	8	no	—
266	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	#449	1	8	yes	—
270	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	#469	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#548	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
281	C₈	—	2	8	no	—
282	C₈	—	8	2	no	—
283	C₂²	—	4	8	no	—
284	C₂²	—	4	4	no	—
285	C₂²	—	4	16	no	—
286	C₂²	—	8	4	no	—
287	C₂²	—	8	2	no	—
288	C₂²	—	8	8	no	—
289	C₂²	—	8	2	no	—
290	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#2432	1	4	yes	—
292	C₂²	#2547	1	2	yes	—
293	C₂²	C₂×#447	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×#449	1	2	yes	—
295	C₂²	#3011	1	4	yes	—
296	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#3059	1	2	yes	—
299	C₂²	#3334	1	4	yes	—
300	C₂²	#3342	1	4	yes	—
301	C₂²	#3353	1	8	yes	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	8	8	no	—
304	C₄	—	8	8	no	—
305	C₄	—	8	2	no	—
306	C₄	#1999	1	8	yes	—
307	C₄	#2436	1	2	yes	—
308	C₄	#2545	1	4	yes	—
309	C₄	#2658	1	1	yes	characteristic
310	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
311	C₂	—	8	4	no	—
312	C₂	#15243	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₂×#1999	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#23389	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#25703	1	4	yes	—
316	C₂	#25705	1	4	yes	—
317	C₂	#28704	1	2	yes	—
318	C₂	#28712	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#500	C₂	semidirect
3. C₂×#1988	C₂	semidirect
5. #11096	C₂	semidirect
6. C₄×#340	C₂	semidirect
208. C₂×C₈	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#2547	2
C₂×#1988	2
C₂×#1954	2
#11096	2
C₄×#340	2