Subgroups — #417114

Order 512.

2228 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#486	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1990	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11049	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#486	—	2	8	no	—
11	C₂×#486	—	2	8	no	—
12	C₂×#486	—	2	8	no	—
13	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#2868	—	2	8	no	—
16	C₂×#390	—	2	2	no	—
17	C₂×#390	—	2	2	no	—
18	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#384	—	2	2	no	—
20	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1990	—	2	8	no	—
24	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
27	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
28	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
29	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
40	C₂×#127	—	2	4	no	—
41	C₂×#127	—	2	4	no	—
42	C₂×#127	—	2	2	no	—
43	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#486	—	2	64	no	—
56	C₂×#102	—	2	16	no	—
57	C₂×#102	—	2	16	no	—
58	C₂×#102	—	2	16	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
62	#390	—	2	16	no	—
63	#390	—	4	8	no	—
64	#390	—	4	8	no	—
65	#384	—	2	16	no	—
66	#384	—	2	16	no	—
67	#384	—	2	4	no	—
68	C₄³	—	2	4	no	—
69	#340	—	2	16	no	—
70	#336	—	2	8	no	—
71	C₂⁵	—	2	2	no	—
72	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
74	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
76	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
92	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
109	#127	—	2	16	no	—
110	#127	—	4	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	—
139	C₂×C₄²	SD₁₆	1	8	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	#102	—	2	64	no	—
146	C₄×C₈	—	2	16	no	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	4	2	no	—
149	C₂⁴	—	4	4	no	—
150	C₂⁴	—	4	2	no	—
151	C₂⁴	—	4	4	no	—
152	C₂⁴	—	4	4	no	—
153	C₂⁴	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	—	4	4	no	—
155	C₂⁴	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
159	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
160	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
161	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	2	16	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	8	no	—
166	C₂×D₄	—	4	8	no	—
167	C₂×D₄	—	4	16	no	—
168	C₂×D₄	—	4	8	no	—
169	C₂×D₄	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×D₄	—	4	16	no	—
172	C₂×D₄	—	4	16	no	—
173	C₂×D₄	—	8	8	no	—
174	C₂×D₄	—	8	8	no	—
175	C₂×D₄	—	8	4	no	—
176	C₂×D₄	—	8	4	no	—
177	C₂×D₄	—	8	4	no	—
178	C₂×D₄	—	8	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
197	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	—	2	8	no	—
212	C₂×C₈	—	2	8	no	—
213	C₂×C₈	—	2	8	no	—
214	C₂×C₈	—	4	8	no	—
215	C₂×C₈	—	4	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
226	C₄²	—	2	16	no	—
227	C₄²	—	2	16	no	—
228	C₄²	—	2	16	no	—
229	C₄²	#120	1	8	yes	—
230	C₄²	#121	1	8	yes	—
231	C₂³	—	4	4	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	4	8	no	—
234	C₂³	—	4	8	no	—
235	C₂³	—	8	2	no	—
236	C₂³	—	8	8	no	—
237	C₂³	—	8	8	no	—
238	C₂³	—	8	2	no	—
239	C₂³	—	8	2	no	—
240	C₂³	—	8	2	no	—
241	C₂³	—	8	2	no	—
242	C₂³	—	8	2	no	—
243	C₂³	—	8	4	no	—
244	C₂³	—	8	8	no	—
245	C₂³	—	8	8	no	—
246	C₂³	—	8	4	no	—
247	C₂³	—	8	4	no	—
248	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	#536	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
257	Q₈	—	8	32	no	—
258	D₄	—	4	16	no	—
259	D₄	—	8	16	no	—
260	D₄	—	8	16	no	—
261	D₄	—	8	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	16	no	—
270	C₂×C₄	—	8	4	no	—
271	C₂×C₄	—	8	4	no	—
272	C₂×C₄	—	8	8	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	8	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#447	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	#448	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	#459	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	#461	1	8	yes	—
283	C₂×C₄	#486	1	16	yes	complemented
284	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#548	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
295	C₈	—	4	8	no	—
296	C₂²	—	8	16	no	—
297	C₂²	—	8	4	no	—
298	C₂²	—	8	4	no	—
299	C₂²	—	8	4	no	—
300	C₂²	—	16	8	no	—
301	C₂²	—	16	2	no	—
302	C₂²	—	16	2	no	—
303	C₂²	—	16	2	no	—
304	C₂²	—	16	2	no	—
305	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#2436	1	2	yes	—
307	C₂²	#2547	1	2	yes	—
308	C₂²	#2658	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#447	1	2	yes	—
311	C₂²	C₂×#448	1	2	yes	—
312	C₂²	C₂×#459	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×#461	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×#486	1	4	yes	—
315	C₂²	#3141	1	4	yes	—
316	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#3226	1	4	yes	—
321	C₂²	#3227	1	4	yes	—
322	C₄	—	2	16	no	—
323	C₄	—	8	8	no	—
324	C₄	—	16	2	no	—
325	C₄	#2011	1	8	yes	—
326	C₄	#2013	1	8	yes	—
327	C₄	#2432	1	4	yes	—
328	C₄	#2545	1	4	yes	—
329	C₂	—	16	4	no	—
330	C₂	#15243	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×#2013	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#25903	1	4	yes	—
334	C₂	#28716	1	4	yes	—
335	C₂	#30276	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#30277	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#33224	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#33238	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2868	C₂	semidirect
3. C₂×#1990	C₂	semidirect
5. #11049	C₂	semidirect
6. C₄×#336	C₂	semidirect
283. C₂×C₄	#486	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#486	2
C₂×#2868	2
C₂×#1990	2
#14713	2
#11049	2
C₄×#336	2