Subgroups — #417118

Order 512.

1662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#488	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1991	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#14708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11052	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11051	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11049	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#488	—	2	8	no	—
13	C₂×#488	—	2	8	no	—
14	C₂×#488	—	2	8	no	—
15	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#2859	—	2	8	no	—
19	C₂×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#389	—	2	4	no	—
24	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1991	—	2	8	no	—
29	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	#1437	—	2	4	no	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×#125	—	2	4	no	—
38	C₂×#125	—	2	4	no	—
39	C₂×#125	—	2	4	no	—
40	C₂×#125	—	2	4	no	—
41	C₂×#125	—	2	4	no	—
42	C₂×#125	D₄	1	8	yes	—
43	C₂×#124	—	2	4	no	—
44	C₂×#124	—	2	4	no	—
45	C₂×#124	—	2	2	no	—
46	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#488	—	2	64	no	—
60	C₂×#103	—	2	8	no	—
61	C₂×#103	—	2	8	no	—
62	C₂×#103	—	2	8	no	—
63	C₂×#102	—	2	8	no	—
64	C₂×#102	—	2	8	no	—
65	C₂×#102	—	2	8	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
69	#391	—	2	4	no	—
70	#391	—	2	4	no	—
71	#390	—	2	4	no	—
72	#390	—	2	4	no	—
73	#389	—	2	32	no	—
74	#384	—	2	8	no	—
75	#382	—	2	8	no	—
76	#382	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₄³	—	2	4	no	—
82	#340	—	2	8	no	—
83	#340	—	2	8	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	C₂⁵	—	2	1	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	#125	—	2	16	no	—
119	#125	—	2	16	no	—
120	#125	—	4	8	no	—
121	#125	—	4	8	no	—
122	#124	—	2	16	no	—
123	#124	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	#103	—	2	32	no	—
163	#102	—	2	32	no	—
164	C₄×C₈	—	2	16	no	—
165	#95	—	2	16	no	—
166	#95	—	4	4	no	—
167	#95	—	4	4	no	—
168	#95	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	4	1	no	—
171	C₂⁴	—	4	1	no	—
172	C₂⁴	—	4	1	no	—
173	C₂⁴	—	4	1	no	—
174	C₂⁴	—	4	1	no	—
175	C₂⁴	—	4	1	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	4	16	no	—
263	C₄²	#120	1	8	yes	—
264	C₄²	#121	1	8	yes	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	8	1	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	1	no	—
277	C₂³	—	8	1	no	—
278	C₂³	—	8	1	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	4	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
290	C₂³	#575	1	4	yes	—
291	Q₈	—	4	8	no	—
292	Q₈	—	8	4	no	—
293	D₄	—	4	8	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	16	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	1	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	8	1	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	1	no	—
321	C₂×C₄	—	8	1	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	#392	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	#488	1	8	yes	complemented
330	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
340	C₈	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	2	no	—
348	C₂²	—	16	1	no	—
349	C₂²	—	16	1	no	—
350	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2436	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2436	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2658	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3002	1	4	yes	—
358	C₂²	#3035	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂×#488	1	2	yes	—
360	C₂²	#3131	1	2	yes	—
361	C₂²	#3140	1	2	yes	—
362	C₂²	#3142	1	2	yes	—
363	C₂²	#3147	1	2	yes	—
364	C₂²	#3150	1	2	yes	—
365	C₂²	#3232	1	4	yes	—
366	C₂²	#3233	1	4	yes	—
367	C₄	—	2	8	no	—
368	C₄	—	2	8	no	—
369	C₄	—	4	4	no	—
370	C₄	—	8	8	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	16	1	no	—
373	C₄	—	16	1	no	—
374	C₄	#2432	1	4	yes	—
375	C₄	#2545	1	4	yes	—
376	C₂	—	16	2	no	—
377	C₂	#15243	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#23421	1	2	yes	—
379	C₂	#25906	1	2	yes	—
380	C₂	#25907	1	2	yes	—
381	C₂	#28720	1	2	yes	—
382	C₂	#28721	1	2	yes	—
383	C₂	#30282	1	2	yes	—
384	C₂	#33226	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#33237	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2859	C₂	semidirect
3. C₂×#1991	C₂	semidirect
5. #11052	C₂	semidirect
7. #11050	C₂	semidirect
9. C₄×#336	C₂	semidirect
329. C₂×C₄	#488	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#488	2
C₂×#2859	2
C₂×#1991	2
#14708	2
#11052	2
#11051	2
#11050	2
#11049	2
C₄×#336	2