Subgroups — #417183

Order 512.

1686 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2641	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1995	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#21260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11063	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3138	—	2	4	no	—
13	#3138	—	2	4	no	—
14	C₂×#490	—	2	2	no	—
15	C₂×#486	—	2	2	no	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2859	—	2	2	no	—
21	#2660	—	2	2	no	—
22	#2641	—	2	4	no	—
23	#2641	—	2	4	no	—
24	#2584	—	2	4	no	—
25	#2583	—	2	4	no	—
26	C₂×#394	—	2	4	no	—
27	#2317	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1998	—	2	4	no	—
32	#1995	—	2	4	no	—
33	#1982	—	2	4	no	—
34	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	#533	—	2	2	no	—
42	#533	—	2	2	no	—
43	#533	—	2	2	no	—
44	#533	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#127	—	2	1	no	—
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	—	2	2	no	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×#125	—	2	2	no	—
54	C₂×#125	—	2	1	no	—
55	C₂×#125	—	2	2	no	—
56	C₂×#125	—	2	2	no	—
57	C₂×#125	—	2	1	no	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×#125	—	2	2	no	—
60	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#490	—	2	16	no	—
71	#486	—	2	16	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	#418	—	2	8	no	—
76	#418	—	2	8	no	—
77	#418	—	2	16	no	—
78	C₂×#102	—	2	8	no	—
79	C₂×#102	—	2	8	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	#398	—	2	8	no	—
85	#395	—	2	8	no	—
86	#394	—	2	32	no	—
87	#390	—	2	8	no	—
88	#390	—	2	8	no	—
89	#389	—	2	16	no	—
90	#389	—	2	8	no	—
91	#385	—	2	8	no	—
92	#384	—	2	4	no	—
93	#382	—	2	4	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
96	#376	—	2	2	no	—
97	#376	—	2	1	no	—
98	#376	D₄	1	4	yes	—
99	C₂×#95	—	2	2	no	—
100	C₄³	—	2	1	no	—
101	#343	—	2	8	no	—
102	#339	—	2	8	no	—
103	#339	—	2	8	no	—
104	C₂⁵	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	#127	—	2	4	no	—
135	#127	—	2	4	no	—
136	#127	—	2	8	no	—
137	#127	—	4	2	no	—
138	#127	—	4	2	no	—
139	#127	—	4	4	no	—
140	#125	—	2	4	no	—
141	#125	—	2	4	no	—
142	#125	—	4	2	no	—
143	#125	—	4	2	no	—
144	#125	—	4	4	no	—
145	#125	—	4	2	no	—
146	#125	—	4	2	no	—
147	#125	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	#41	1	8	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
191	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
192	#102	—	2	32	no	—
193	#102	—	4	16	no	—
194	#97	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	#95	—	2	16	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	16	no	—
201	C₂⁴	—	4	2	no	—
202	C₂⁴	—	4	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	8	8	no	—
223	C₂×D₄	—	8	8	no	—
224	C₂×D₄	—	8	16	no	—
225	C₂×D₄	—	8	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
269	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
274	C₄²	—	2	8	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	4	4	no	—
280	C₄²	—	8	4	no	—
281	C₄²	#120	1	2	yes	—
282	C₄²	#120	1	2	yes	—
283	C₄²	#121	1	4	yes	—
284	C₄²	#121	1	2	yes	—
285	C₄²	#121	1	2	yes	—
286	C₄²	#127	1	4	yes	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	16	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	—	8	32	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	—	8	8	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	#548	1	4	yes	—
300	Q₈	—	8	8	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	8	16	no	—
304	D₄	—	8	16	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	2	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₈	—	8	2	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	8	16	no	—
344	C₂²	—	8	8	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	16	8	no	—
347	C₂²	—	16	8	no	—
348	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2432	1	2	yes	—
350	C₂²	#2436	1	2	yes	—
351	C₂²	#2545	1	2	yes	—
352	C₂²	#3021	1	4	yes	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	8	4	no	—
357	C₄	—	8	4	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	#2432	1	2	yes	—
360	C₄	#2545	1	2	yes	—
361	C₄	#2547	1	2	yes	—
362	C₄	#2658	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	2	no	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	16	4	no	—
367	C₂	#15243	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#23400	1	2	yes	—
369	C₂	#25928	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #35335	C₂	semidirect
4. C₂×#1998	C₂	semidirect
5. C₂×#1995	C₂	semidirect
7. #11063	C₂	semidirect
8. #10701	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
#35335	2
C₂×#2641	2
C₂×#1998	2
C₂×#1995	2
#21260	2
#11063	2
#10701	2