Subgroups — #417187

Order 512.

1622 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21306	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11129	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	C₄×#344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3166	—	2	2	no	—
13	#3166	—	2	2	no	—
14	#3165	—	2	2	no	—
15	#3165	—	2	2	no	—
16	#3162	—	2	2	no	—
17	#3160	—	2	2	no	—
18	#3138	—	2	4	no	—
19	#3138	—	2	4	no	—
20	C₂×#490	—	2	2	no	—
21	C₂×#486	—	2	2	no	—
22	#2911	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2858	—	2	2	no	—
28	#2641	—	2	2	no	—
29	#2548	—	2	4	no	—
30	#2435	—	2	4	no	—
31	#2309	C₂²	1	4	yes	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1996	—	2	4	no	—
35	#1986	—	2	4	no	—
36	#1961	—	2	2	no	—
37	#1957	—	2	2	no	—
38	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
39	#1740	C₂²	1	4	yes	—
40	#1733	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	1	no	—
48	#533	—	2	1	no	—
49	#533	—	2	1	no	—
50	#533	—	2	1	no	—
51	#533	—	2	1	no	—
52	#533	—	2	1	no	—
53	#533	—	2	1	no	—
54	#533	—	2	1	no	—
55	#533	—	2	2	no	—
56	#533	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	—	2	1	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	1	no	—
63	C₂×#127	—	2	1	no	—
64	C₂×#127	—	2	1	no	—
65	C₂×#127	—	2	1	no	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#124	—	2	8	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#501	—	2	8	no	—
81	#501	—	2	8	no	—
82	#500	—	2	4	no	—
83	#499	—	2	8	no	—
84	#498	—	2	4	no	—
85	#490	—	2	16	no	—
86	#486	—	2	8	no	—
87	#486	—	2	8	no	—
88	#428	—	2	8	no	—
89	#428	—	2	8	no	—
90	#427	—	2	8	no	—
91	#418	—	2	8	no	—
92	#418	—	2	8	no	—
93	#418	—	2	16	no	—
94	C₂×#102	—	2	8	no	—
95	C₂×#102	—	2	8	no	—
96	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
98	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
100	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
101	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
102	C₂×#97	—	2	1	no	—
103	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
106	#394	—	2	16	no	—
107	#390	—	2	8	no	—
108	#390	—	2	8	no	—
109	#390	—	2	8	no	—
110	#384	—	2	1	no	—
111	#382	—	2	1	no	—
112	#380	—	2	2	no	—
113	#379	—	2	8	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
117	#376	—	2	1	no	—
118	C₄³	—	2	1	no	—
119	#344	—	2	8	no	—
120	#342	—	2	8	no	—
121	#339	—	2	8	no	—
122	C₂⁵	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
139	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	—	2	4	no	—
162	#127	—	2	4	no	—
163	#127	—	2	4	no	—
164	#127	—	4	1	no	—
165	#127	—	4	1	no	—
166	#127	—	4	1	no	—
167	#127	—	4	1	no	—
168	#127	—	4	2	no	—
169	#127	—	4	2	no	—
170	#125	—	2	4	no	—
171	#125	—	2	2	no	—
172	#125	—	2	2	no	—
173	#125	—	2	2	no	—
174	#125	—	2	2	no	—
175	#125	—	2	4	no	—
176	#124	—	8	16	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
185	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
186	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
193	#117	—	2	4	no	—
194	#117	—	2	4	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	2	no	—
199	#117	—	2	2	no	—
200	#117	—	2	2	no	—
201	#117	—	2	2	no	—
202	#117	—	2	2	no	—
203	#117	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
232	#107	—	2	16	no	—
233	#106	—	2	16	no	—
234	#102	—	2	32	no	—
235	#102	—	4	16	no	—
236	#97	—	2	4	no	—
237	#97	—	2	2	no	—
238	#97	—	2	2	no	—
239	C₄×C₈	—	2	4	no	—
240	C₄×C₈	—	2	2	no	—
241	C₄×C₈	—	2	2	no	—
242	#95	—	2	4	no	—
243	#95	—	4	2	no	—
244	C₂⁴	—	2	4	no	—
245	C₂⁴	—	4	2	no	—
246	C₂⁴	—	4	2	no	—
247	C₂⁴	—	4	4	no	—
248	C₂⁴	—	4	4	no	—
249	C₂⁴	—	8	8	no	—
250	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	16	no	—
260	C₂×D₄	—	4	16	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	8	no	—
269	C₂×D₄	—	4	8	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	8	8	no	—
275	C₂×D₄	—	8	8	no	—
276	C₂×D₄	—	8	8	no	—
277	C₂×D₄	—	8	8	no	—
278	C₂×D₄	—	8	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
297	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
298	M₁₆	—	2	8	no	—
299	M₁₆	—	2	8	no	—
300	M₁₆	—	2	4	no	—
301	M₁₆	—	2	4	no	—
302	M₁₆	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	4	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₂×C₈	#124	1	8	yes	complemented
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
331	C₄²	—	4	8	no	—
332	C₄²	—	4	2	no	—
333	C₄²	—	4	2	no	—
334	C₄²	—	4	2	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	4	4	no	—
337	C₄²	—	4	4	no	—
338	C₄²	#120	1	2	yes	—
339	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
341	C₄²	#120	1	2	yes	—
342	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	#121	1	2	yes	—
345	C₄²	#121	1	2	yes	—
346	C₄²	#121	1	2	yes	—
347	C₄²	#121	1	2	yes	—
348	C₂³	—	4	2	no	—
349	C₂³	—	4	16	no	—
350	C₂³	—	4	4	no	—
351	C₂³	—	4	8	no	—
352	C₂³	—	8	8	no	—
353	C₂³	—	8	8	no	—
354	C₂³	—	8	2	no	—
355	C₂³	—	8	2	no	—
356	C₂³	—	8	4	no	—
357	C₂³	—	16	8	no	—
358	C₂³	—	16	8	no	—
359	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
360	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	#532	1	2	yes	—
363	C₂³	#536	1	2	yes	—
364	Q₈	—	8	4	no	—
365	Q₈	—	8	4	no	—
366	Q₈	—	8	4	no	—
367	Q₈	—	8	4	no	—
368	D₄	—	4	8	no	—
369	D₄	—	4	8	no	—
370	D₄	—	8	8	no	—
371	D₄	—	8	8	no	—
372	D₄	—	8	8	no	—
373	D₄	—	8	4	no	—
374	D₄	—	8	8	no	—
375	D₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	8	no	—
383	C₂×C₄	—	4	8	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	2	no	—
390	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
403	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
404	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
405	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
406	C₈	—	2	8	no	—
407	C₈	—	4	4	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	2	2	no	—
410	C₂²	—	2	2	no	—
411	C₂²	—	4	2	no	—
412	C₂²	—	4	2	no	—
413	C₂²	—	8	16	no	—
414	C₂²	—	8	8	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	16	4	no	—
417	C₂²	—	16	4	no	—
418	C₂²	—	16	8	no	—
419	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2432	1	2	yes	—
421	C₂²	#2545	1	2	yes	—
422	C₂²	#2658	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
424	C₄	—	2	2	no	—
425	C₄	—	2	2	no	—
426	C₄	—	2	2	no	—
427	C₄	—	8	4	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	—	8	4	no	—
430	C₄	—	16	2	no	—
431	C₄	#2008	1	4	yes	—
432	C₄	#2432	1	2	yes	—
433	C₄	#2436	1	2	yes	—
434	C₄	#2545	1	2	yes	—
435	C₄	#2547	1	2	yes	—
436	C₂	—	2	2	no	—
437	C₂	—	2	1	no	—
438	C₂	—	2	1	no	—
439	C₂	—	2	2	no	—
440	C₂	—	16	4	no	—
441	C₂	#15243	1	1	yes	characteristic
442	C₂	C₂×#2008	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#392
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60663	C₂	semidirect
4. #21332	C₂	semidirect
5. #21306	C₂	semidirect
7. #11129	C₂	semidirect
8. C₄×#344	C₂	semidirect
307. C₂×C₈	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60663	2
C₂×#3138	2
#35285	2
#21332	2
#21306	2
#21203	2
#11129	2
C₄×#344	2