Subgroups — #417192

Order 512.

1580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1967	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11136	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11135	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3166	—	2	4	no	—
14	#3166	—	2	4	no	—
15	C₂×#501	—	2	2	no	—
16	C₂×#499	—	2	2	no	—
17	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2861	—	2	4	no	—
23	#2861	—	2	2	no	—
24	#2861	—	2	4	no	—
25	#2640	—	2	2	no	—
26	#2592	—	2	4	no	—
27	#2561	—	2	4	no	—
28	#2310	C₂²	1	2	yes	—
29	#2309	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#388	—	2	4	no	—
33	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1994	—	2	4	no	—
36	#1989	—	2	4	no	—
37	#1967	—	2	4	no	—
38	#1736	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#125	—	2	2	no	—
51	C₂×#125	—	2	1	no	—
52	C₂×#125	—	2	1	no	—
53	C₂×#125	—	2	2	no	—
54	C₂×#125	—	2	2	no	—
55	C₂×#125	—	2	2	no	—
56	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#125	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×#124	—	2	2	no	—
59	C₂×#124	—	2	1	no	—
60	C₂×#124	—	2	2	no	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#124	—	2	1	no	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×#124	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#501	—	2	16	no	—
77	#499	—	2	16	no	—
78	#428	—	2	8	no	—
79	#428	—	2	8	no	—
80	C₂×#107	—	2	4	no	—
81	C₂×#106	—	2	4	no	—
82	#423	—	2	2	no	—
83	#423	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×#101	—	2	4	no	—
86	C₂×#101	—	2	8	no	—
87	C₂×#100	—	2	4	no	—
88	C₂×#100	—	2	8	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	#397	—	2	8	no	—
94	#393	—	2	8	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#391	—	2	4	no	—
98	#391	—	2	4	no	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#390	—	2	4	no	—
101	#390	—	2	4	no	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#388	—	2	16	no	—
104	#388	—	2	32	no	—
105	#381	—	2	4	no	—
106	#379	—	2	4	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
108	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
109	#376	—	2	1	no	—
110	C₂×#95	—	2	4	no	—
111	C₄³	—	2	2	no	—
112	C₄³	—	2	1	no	—
113	C₄³	D₄	1	4	yes	—
114	#340	—	2	8	no	—
115	#339	—	2	8	no	—
116	#339	—	2	8	no	—
117	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	#125	—	2	4	no	—
153	#125	—	2	4	no	—
154	#125	—	2	4	no	—
155	#125	—	2	8	no	—
156	#125	—	2	4	no	—
157	#125	—	4	2	no	—
158	#125	—	4	2	no	—
159	#125	—	4	4	no	—
160	#124	—	4	2	no	—
161	#124	—	4	2	no	—
162	#124	—	4	4	no	—
163	#124	—	4	2	no	—
164	#124	—	4	2	no	—
165	#124	—	4	4	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
215	#107	—	2	16	no	—
216	#106	—	2	16	no	—
217	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
218	#101	—	4	8	no	—
219	#100	—	4	8	no	—
220	#97	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	#95	—	2	16	no	—
223	#95	—	2	16	no	—
224	#95	—	2	4	no	—
225	C₂⁴	—	2	2	no	—
226	C₂⁴	—	2	2	no	—
227	C₂⁴	—	2	2	no	—
228	C₂⁴	—	2	8	no	—
229	C₂⁴	—	4	8	no	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	1	no	—
247	C₂×D₄	—	4	1	no	—
248	C₂×D₄	—	4	1	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	1	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
286	M₁₆	—	2	4	no	—
287	M₁₆	—	2	8	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	2	no	—
290	M₁₆	—	4	4	no	—
291	M₁₆	#124	1	8	yes	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	8	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	4	16	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	4	no	—
321	C₄²	—	4	4	no	—
322	C₄²	—	8	4	no	—
323	C₄²	#120	1	2	yes	—
324	C₄²	#120	1	2	yes	—
325	C₄²	#121	1	4	yes	—
326	C₄²	#121	1	2	yes	—
327	C₄²	#121	1	2	yes	—
328	C₄²	#127	1	4	yes	—
329	C₂³	—	2	4	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	8	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	8	16	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	#547	1	4	yes	—
342	Q₈	—	8	8	no	—
343	Q₈	—	8	1	no	—
344	Q₈	—	8	1	no	—
345	Q₈	—	8	2	no	—
346	Q₈	—	8	2	no	—
347	Q₈	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	1	no	—
349	D₄	—	8	1	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	D₄	—	8	2	no	—
352	D₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	16	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	4	no	—
373	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
388	C₈	—	2	8	no	—
389	C₈	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	2	8	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	8	8	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	16	4	no	—
398	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#2432	1	2	yes	—
400	C₂²	#2432	1	2	yes	—
401	C₂²	#2547	1	2	yes	—
402	C₂²	#3018	1	4	yes	—
403	C₄	—	2	4	no	—
404	C₄	—	2	4	no	—
405	C₄	—	4	8	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	4	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	—	8	2	no	—
410	C₄	#2436	1	2	yes	—
411	C₄	#2545	1	2	yes	—
412	C₄	#2545	1	2	yes	—
413	C₄	#2658	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
415	C₂	—	2	2	no	—
416	C₂	—	2	2	no	—
417	C₂	—	16	2	no	—
418	C₂	#15243	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#23399	1	2	yes	—
420	C₂	#25689	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3166	C₂	semidirect
4. C₂×#1994	C₂	semidirect
5. #21314	C₂	semidirect
7. #11136	C₂	semidirect
9. C₄×#339	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3166	2
C₂×#2861	2
#35338	2
C₂×#1994	2
#21314	2
C₂×#1967	2
#11136	2
#11135	2
C₄×#339	2