Subgroups — #417220

Order 512.

1604 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#14687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11123	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#390	—	2	2	no	—
16	C₂×#390	—	2	2	no	—
17	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#382	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1957	—	2	4	no	—
24	#1957	—	2	4	no	—
25	#1845	—	2	4	no	—
26	#1834	—	2	4	no	—
27	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
32	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#127	—	2	2	no	—
37	C₂×#127	—	2	2	no	—
38	C₂×#127	—	2	2	no	—
39	C₂×#127	—	2	2	no	—
40	C₂×#127	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#107	—	2	8	no	—
57	C₂×#107	—	4	8	no	—
58	C₂×#102	—	2	8	no	—
59	C₂×#102	—	2	8	no	—
60	C₂×#102	—	2	16	no	—
61	C₂×#102	—	4	8	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
68	#390	—	4	8	no	—
69	#390	—	4	8	no	—
70	#390	—	4	8	no	—
71	#384	—	2	2	no	—
72	#384	—	2	2	no	—
73	#384	—	2	2	no	—
74	#384	—	2	2	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	—	2	2	no	—
77	#382	—	4	8	no	—
78	C₂×#95	—	2	8	no	—
79	C₄³	—	2	2	no	—
80	C₄³	—	2	2	no	—
81	#340	—	2	8	no	—
82	#336	—	2	8	no	—
83	C₂⁵	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
101	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
119	#127	—	2	8	no	—
120	#127	—	2	8	no	—
121	#127	—	4	4	no	—
122	#127	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
163	#107	—	4	16	no	—
164	#102	—	4	16	no	—
165	#102	—	4	16	no	—
166	C₄×C₈	—	2	8	no	—
167	C₄×C₈	—	2	8	no	—
168	#95	—	4	16	no	—
169	C₂⁴	—	2	4	no	—
170	C₂⁴	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	—	4	4	no	—
174	C₂⁴	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	16	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	16	no	—
194	C₂×D₄	—	4	16	no	—
195	C₂×D₄	—	8	8	no	—
196	C₂×D₄	—	8	8	no	—
197	C₂×D₄	—	8	4	no	—
198	C₂×D₄	—	8	4	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
261	C₄²	—	2	16	no	—
262	C₄²	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	4	4	no	—
264	C₄²	—	4	8	no	—
265	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
267	C₄²	#123	1	4	yes	—
268	C₄²	#123	1	4	yes	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	8	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	8	4	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	8	no	—
282	C₂³	—	8	8	no	—
283	C₂³	—	8	8	no	—
284	C₂³	—	8	8	no	—
285	C₂³	—	8	4	no	—
286	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#532	1	2	yes	—
290	C₂³	#535	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	8	16	no	—
298	D₄	—	8	16	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#474	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#478	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#480	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	#482	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#555	1	4	yes	—
342	C₈	—	2	8	no	—
343	C₈	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	8	16	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	16	2	no	—
349	C₂²	—	16	2	no	—
350	C₂²	—	16	2	no	—
351	C₂²	—	16	2	no	—
352	C₂²	—	16	8	no	—
353	C₂²	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2500	1	2	yes	—
355	C₂²	#2566	1	2	yes	—
356	C₂²	#2657	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#474	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×#478	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂×#480	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×#482	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3169	1	4	yes	—
367	C₂²	#3182	1	4	yes	—
368	C₂²	#3205	1	4	yes	—
369	C₂²	#3210	1	4	yes	—
370	C₄	—	4	8	no	—
371	C₄	—	16	2	no	—
372	C₄	—	16	2	no	—
373	C₄	—	16	2	no	—
374	C₄	#2092	1	8	yes	—
375	C₄	#2093	1	8	yes	—
376	C₄	#2500	1	2	yes	—
377	C₄	#2504	1	2	yes	—
378	C₄	#2563	1	2	yes	—
379	C₄	#2566	1	2	yes	—
380	C₂	—	16	4	no	—
381	C₂	#15244	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#2092	1	1	yes	characteristic
383	C₂	C₂×#2093	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#27891	1	4	yes	—
385	C₂	#29192	1	4	yes	—
386	C₂	#30258	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#30261	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#33241	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#33252	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1845	C₂	semidirect
4. C₂×#1834	C₂	semidirect
6. #14687	C₂	semidirect
7. #11123	C₂	semidirect
8. C₄×#336	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1957	2
C₂×#1845	2
C₂×#1834	2
#14713	2
#14687	2
#11123	2
C₄×#336	2