Subgroups — C₁₀₉×#32766 #42150760

Order 27904.

836 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₁₀₉×#2621	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₁₀₉×#2619	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₁₀₉×#2074	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₁₀₉×#2073	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₁₀₉×#2014	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₁₀₉×#2013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₁₀₉×#2000	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₁₀₉×#1818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×SD₁₆×C₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₄⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#127×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#121×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#117×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#103×C₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#102×C₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₂²⋊C₈×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
18	#398×C₁₀₉	—	2	2	no	—
19	#397×C₁₀₉	—	2	2	no	—
20	#394×C₁₀₉	—	2	2	no	—
21	#392×C₁₀₉	—	2	2	no	—
22	#391×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
23	#390×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
24	#382×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#382×C₁₀₉	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#340×C₁₀₉	C₂²	1	4	yes	—
27	#336×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
28	#336×C₁₀₉	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×Q₈×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×C₄×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×SD₁₆×C₁₀₉	—	4	4	no	—
35	C₂×SD₁₆×C₁₀₉	—	4	4	no	—
36	C₂×SD₁₆×C₁₀₉	—	4	4	no	—
37	C₂²×C₈×C₁₀₉	C₂³	1	4	yes	—
38	C₄⋊Q₈×C₁₀₉	—	4	2	no	—
39	#127×C₁₀₉	—	4	2	no	—
40	C₂²⋊Q₈×C₁₀₉	—	4	4	no	—
41	#121×C₁₀₉	—	4	4	no	—
42	#117×C₁₀₉	—	4	2	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₁₀₉	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₀₉	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₁₀₉	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#103×C₁₀₉	—	4	4	no	—
55	#102×C₁₀₉	—	4	4	no	—
56	C₂²⋊C₈×C₁₀₉	—	4	2	no	—
57	#95×C₁₀₉	—	2	2	no	—
58	#95×C₁₀₉	—	2	2	no	—
59	#95×C₁₀₉	—	2	4	no	—
60	C₂⁴×C₁₀₉	—	2	2	no	—
61	C₂⁴×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
63	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
64	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
65	C₂×Q₈×C₁₀₉	—	2	2	no	—
66	C₂×D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
67	C₂×D₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
68	C₂×D₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
69	C₂×D₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
70	C₂×D₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
71	C₂×D₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
72	C₂×D₄×C₁₀₉	—	8	4	no	—
73	C₂×D₄×C₁₀₉	—	8	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₁₀₉	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	SD₁₆×C₁₀₉	—	4	16	no	—
85	C₂×C₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
86	C₂×C₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
87	C₂×C₈×C₁₀₉	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
91	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
92	C₄⋊C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
94	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
95	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
96	C₂²⋊C₄×C₁₀₉	—	8	4	no	—
97	C₄²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₁₀₉	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
100	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₁₀₉	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₁₀₉	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₁₀₉	—	4	2	no	—
104	C₂³×C₁₀₉	—	4	2	no	—
105	C₂³×C₁₀₉	—	4	2	no	—
106	C₂³×C₁₀₉	—	4	4	no	—
107	C₂³×C₁₀₉	—	4	4	no	—
108	C₂³×C₁₀₉	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
109	Q₈×C₁₀₉	—	4	4	no	—
110	Q₈×C₁₀₉	—	4	4	no	—
111	D₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
112	D₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
113	D₄×C₁₀₉	—	8	8	no	—
114	D₄×C₁₀₉	—	8	8	no	—
115	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₁₀₉	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄×C₁₀₉	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₁₀₉	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
133	C₈×C₁₀₉	—	4	4	no	—
134	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₁₀₉	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₁₀₉	—	4	1	no	—
138	C₂²×C₁₀₉	—	8	4	no	—
139	C₂²×C₁₀₉	—	8	4	no	—
140	C₂²×C₁₀₉	—	8	2	no	—
141	C₂²×C₁₀₉	—	8	2	no	—
142	C₂²×C₁₀₉	—	8	2	no	—
143	C₂²×C₁₀₉	#534	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₁₀₉	#535	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₁₀₉	#535	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₁₀₉	#577	1	4	yes	—
147	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
148	C₄×C₁₀₉	—	4	2	no	—
149	C₄×C₁₀₉	—	4	1	no	—
150	C₄×C₁₀₉	—	8	2	no	—
151	C₄×C₁₀₉	—	8	2	no	—
152	C₄×C₁₀₉	—	8	2	no	—
153	C₄×C₁₀₉	#560	1	4	yes	—
154	#32766	C₁₀₉	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
155	C₂×C₁₀₉	—	8	1	no	—
156	C₂×C₁₀₉	—	16	2	no	—
157	C₂×C₁₀₉	#2815	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₁₀₉	#3200	1	2	yes	—
159	C₂×C₁₀₉	#3221	1	2	yes	—
160	C₂×C₁₀₉	#3222	1	2	yes	—
161	#2621	C₂×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
162	#2619	C₂×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
163	#2074	C₂×C₁₀₉	1	2	yes	complemented
164	#2073	C₂×C₁₀₉	1	2	yes	complemented
165	#2014	C₂×C₁₀₉	1	2	yes	complemented
166	#2013	C₂×C₁₀₉	1	2	yes	complemented
167	#2000	C₂×C₁₀₉	1	4	yes	complemented
168	#1818	C₂×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic, complemented
169	C₁₀₉	#32766	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
170	C₂²×SD₁₆	C₂²×C₁₀₉	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
172	C₂×#127	C₂²×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²×C₁₀₉	1	2	yes	—
174	C₂×#121	C₂²×C₁₀₉	1	2	yes	—
175	C₂×#117	C₂²×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
176	C₂×#103	C₂²×C₁₀₉	1	4	yes	—
177	C₂×#102	C₂²×C₁₀₉	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²×C₁₀₉	1	2	yes	—
179	#398	—	2	2	no	—
180	#397	—	2	2	no	—
181	#394	—	2	2	no	—
182	#392	—	2	2	no	—
183	#391	C₂²×C₁₀₉	1	2	yes	—
184	#390	C₂²×C₁₀₉	1	2	yes	—
185	#382	C₂²×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
186	#382	C₂²×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
187	#340	C₂²×C₁₀₉	1	4	yes	—
188	#336	C₂²×C₁₀₉	1	2	yes	—
189	#336	C₂²×C₁₀₉	1	2	yes	—
190	C₂²×Q₈	C₂³×C₁₀₉	1	2	yes	—
191	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×D₄	C₂³×C₁₀₉	1	2	yes	—
194	C₂³×C₄	C₂³×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
195	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
196	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
197	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₈	C₂³×C₁₀₉	1	4	yes	—
199	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
200	#127	—	4	2	no	—
201	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
202	#121	—	4	4	no	—
203	#117	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₁₀₉	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₁₀₉	1	2	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₁₀₉	1	2	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	D₄×C₁₀₉	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂³×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂³×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
215	#103	—	4	4	no	—
216	#102	—	4	4	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	2	no	—
222	C₂⁴	C₂×D₄×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₁₀₉	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₁₀₉	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂⁴×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
245	SD₁₆	—	4	16	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	C₂²×D₄×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
270	Q₈	—	4	4	no	—
271	Q₈	—	4	4	no	—
272	D₄	—	4	4	no	—
273	D₄	—	4	4	no	—
274	D₄	—	8	8	no	—
275	D₄	—	8	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)×C₁₀₉	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)×C₁₀₉	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)×C₁₀₉	1	2	yes	—
294	C₈	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	1	no	—
299	C₂²	—	8	4	no	—
300	C₂²	—	8	4	no	—
301	C₂²	—	8	2	no	—
302	C₂²	—	8	2	no	—
303	C₂²	—	8	2	no	—
304	C₂²	#534×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#535×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#535×C₁₀₉	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#577×C₁₀₉	1	4	yes	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	1	no	—
311	C₄	—	8	2	no	—
312	C₄	—	8	2	no	—
313	C₄	—	8	2	no	—
314	C₄	#560×C₁₀₉	1	4	yes	—
315	C₂	—	8	1	no	—
316	C₂	—	16	2	no	—
317	C₂	C₁₀₉×#2815	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₁₀₉×#3200	1	2	yes	—
319	C₂	C₁₀₉×#3221	1	2	yes	—
320	C₂	C₁₀₉×#3222	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³×C₁₀₉	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₁₀₉
prime radical	C₁₀₉×#2619	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₁₀₉ ◁ C₂×#117×C₁₀₉ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₁₀₉×#2621	C₂	semidirect
3. C₁₀₉×#2074	C₂	semidirect
4. C₁₀₉×#2073	C₂	semidirect
5. C₁₀₉×#2014	C₂	semidirect
6. C₁₀₉×#2013	C₂	semidirect
7. C₁₀₉×#2000	C₂	semidirect
8. C₁₀₉×#1818	C₂	semidirect
154. #32766	C₁₀₉	direct (N × H)
161. #2621	C₂×C₁₀₉	semidirect
163. #2074	C₂×C₁₀₉	semidirect
164. #2073	C₂×C₁₀₉	semidirect
165. #2014	C₂×C₁₀₉	semidirect
166. #2013	C₂×C₁₀₉	semidirect
167. #2000	C₂×C₁₀₉	semidirect
168. #1818	C₂×C₁₀₉	semidirect
169. C₁₀₉	#32766	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₁₀₉×#2621	2
C₁₀₉×#2619	2
C₁₀₉×#2074	2
C₁₀₉×#2073	2
C₁₀₉×#2014	2
C₁₀₉×#2013	2
C₁₀₉×#2000	2
C₁₀₉×#1818	2
#32766	109

Subgroups — C109×#32766 #42150760

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₁₀₉×#32766 #42150760