Subgroups — #42427

Order 256.

1114 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2817	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2689	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2674	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2663	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2628	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2581	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2551	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2447	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2422	C₂	1	2	yes	maximal
16	#2396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
20	#542	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#400	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#400	C₂²	1	2	yes	—
42	#400	C₂²	1	4	yes	—
43	#400	C₂²	1	2	yes	—
44	#399	C₂²	1	2	yes	—
45	#399	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#398	C₂²	1	2	yes	—
47	#397	C₂²	1	4	yes	—
48	#397	C₂²	1	4	yes	—
49	#397	C₂²	1	4	yes	—
50	#396	C₂²	1	2	yes	—
51	#395	C₂²	1	2	yes	—
52	#395	C₂²	1	2	yes	—
53	#395	C₂²	1	4	yes	—
54	#395	C₂²	1	2	yes	—
55	#395	C₂²	1	2	yes	—
56	#395	C₂²	1	4	yes	—
57	#395	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#394	C₂²	1	4	yes	—
59	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#393	C₂²	1	2	yes	—
61	#393	C₂²	1	4	yes	—
62	#391	C₂²	1	2	yes	—
63	#391	C₂²	1	2	yes	—
64	#391	C₂²	1	4	yes	—
65	#390	C₂²	1	2	yes	—
66	#389	C₂²	1	4	yes	—
67	#389	C₂²	1	2	yes	—
68	#389	C₂²	1	2	yes	—
69	#389	C₂²	1	4	yes	—
70	#388	C₂²	1	4	yes	—
71	#388	C₂²	1	4	yes	—
72	#387	C₂²	1	4	yes	—
73	#385	C₂²	1	4	yes	—
74	#385	C₂²	1	4	yes	—
75	#384	C₂²	1	2	yes	—
76	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#381	C₂²	1	2	yes	—
78	#381	C₂²	1	4	yes	—
79	#380	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
86	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
101	#126	—	2	8	no	—
102	#124	—	2	4	no	—
103	#124	—	2	8	no	—
104	#123	—	2	8	no	—
105	#123	—	4	8	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
110	#121	—	2	4	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	2	8	no	—
114	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	4	4	no	—
252	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	1	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	2	8	no	—
265	Q₈	—	4	16	no	—
266	Q₈	—	4	8	no	—
267	Q₈	—	4	4	no	—
268	Q₈	—	8	4	no	—
269	D₄	—	2	8	no	—
270	D₄	—	8	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	1	no	—
319	C₂²	—	4	1	no	—
320	C₂²	—	4	1	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	4	1	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	1	no	—
338	C₄	—	4	1	no	—
339	C₄	—	4	2	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	#536	1	4	yes	—
343	C₂	—	4	4	no	—
344	C₂	—	8	1	no	—
345	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#3550	1	2	yes	—
349	C₂	#3552	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #2817	C₂	semidirect
4. #2689	C₂	semidirect
5. #2674	C₂	semidirect
6. #2663	C₂	semidirect
7. #2628	C₂	semidirect
8. #2614	C₂	semidirect
9. #2581	C₂	semidirect
10. #2567	C₂	semidirect
11. #2551	C₂	semidirect
12. #2492	C₂	semidirect
13. #2447	C₂	semidirect
14. #2434	C₂	semidirect
16. #2396	C₂	semidirect
17. #2357	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×#542	2
#2817	2
#2689	2
#2674	2
#2663	2
#2628	2
#2614	2
#2581	2
#2567	2
#2551	2
#2492	2
#2447	2
#2434	2
#2422	2
#2396	2
#2357	2