Subgroups — #42490

Order 256.

1015 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2784	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2780	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2683	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2628	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2626	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2454	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
15	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#400	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#399	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#399	C₂²	1	4	yes	—
31	#399	C₂²	1	2	yes	—
32	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#396	C₂²	1	2	yes	—
35	#396	C₂²	1	4	yes	—
36	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#395	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#393	C₂²	1	2	yes	—
45	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#390	C₂²	1	2	yes	—
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#390	C₂²	1	2	yes	—
52	#390	C₂²	1	2	yes	—
53	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
66	#380	C₂²	1	2	yes	—
67	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#379	C₂²	1	2	yes	—
70	#379	C₂²	1	2	yes	—
71	#379	C₂²	1	4	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
75	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×D₄	Q₈	1	8	yes	complemented
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
87	#125	—	4	4	no	—
88	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
89	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
90	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
91	C₄×D₄	—	4	4	no	—
92	C₄×D₄	—	4	4	no	—
93	#117	—	4	2	no	—
94	#117	—	4	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
135	#95	C₂³	1	2	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	#95	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂⁴	—	4	4	no	—
148	C₂⁴	—	4	2	no	—
149	C₂⁴	—	4	2	no	—
150	C₂⁴	—	4	4	no	—
151	C₂⁴	C₂×Q₈	1	8	yes	—
152	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	16	no	—
161	C₂×D₄	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
164	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	4	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	4	2	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	1	no	—
230	C₂³	—	2	1	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	4	8	no	—
237	C₂³	—	4	16	no	—
238	C₂³	—	8	4	no	—
239	C₂³	—	8	8	no	—
240	C₂³	—	8	4	no	—
241	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
243	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	Q₈	—	4	4	no	—
245	Q₈	—	8	4	no	—
246	D₄	—	2	16	no	—
247	D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	—	8	8	no	—
281	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	2	8	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	8	no	—
290	C₂²	—	2	8	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	1	no	—
293	C₂²	—	4	4	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	1	no	—
298	C₂²	—	8	16	no	—
299	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
303	C₂²	#585	1	2	yes	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	4	1	no	—
308	C₄	—	4	1	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	—	4	1	no	—
316	C₄	#543	1	4	yes	—
317	C₂	—	4	8	no	—
318	C₂	—	4	2	no	—
319	C₂	C₂×#543	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#3501	1	2	yes	—
321	C₂	#3537	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#3546	1	2	yes	—
323	C₂	#3551	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2842	C₂	semidirect
2. #2784	C₂	semidirect
3. #2780	C₂	semidirect
4. #2683	C₂	semidirect
5. #2628	C₂	semidirect
6. #2626	C₂	semidirect
7. #2566	C₂	semidirect
8. #2538	C₂	semidirect
9. #2454	C₂	semidirect
10. #2452	C₂	semidirect
11. #2441	C₂	semidirect
12. #2437	C₂	semidirect
13. #2396	C₂	semidirect
17. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂×#125	C₂²	semidirect
19. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
20. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. #400	C₂²	semidirect
28. #400	C₂²	semidirect
32. #399	C₂²	semidirect
33. #398	C₂²	semidirect
36. #396	C₂²	semidirect
37. #396	C₂²	semidirect
38. #396	C₂²	semidirect
39. #396	C₂²	semidirect
40. #396	C₂²	semidirect
41. #396	C₂²	semidirect
42. #395	C₂²	semidirect
43. #395	C₂²	semidirect
46. #393	C₂²	semidirect
53. #389	C₂²	semidirect
54. #389	C₂²	semidirect
55. #389	C₂²	semidirect
56. #389	C₂²	semidirect
57. #387	C₂²	semidirect
60. #385	C₂²	semidirect
61. #385	C₂²	semidirect
62. #385	C₂²	semidirect
63. #385	C₂²	semidirect
64. #384	C₂²	semidirect
65. #382	C₂²	semidirect
67. #380	C₂²	semidirect
68. #380	C₂²	semidirect
72. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
80. C₂²×D₄	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2842	2
#2784	2
#2780	2
#2683	2
#2628	2
#2626	2
#2566	2
#2538	2
#2454	2
#2452	2
#2441	2
#2437	2
#2396	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2309	2