Subgroups — #42789

Order 256.

1044 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2677	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2674	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2658	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2632	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2628	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2604	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2551	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2491	C₂	1	2	yes	maximal
14	#2448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#2396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2356	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	Q₈²	—	2	8	no	—
19	#542	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#400	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#400	C₂²	1	2	yes	—
43	#399	C₂²	1	2	yes	—
44	#399	C₂²	1	2	yes	—
45	#399	C₂²	1	2	yes	—
46	#399	C₂²	1	2	yes	—
47	#399	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#399	C₂²	1	4	yes	—
49	#399	C₂²	1	4	yes	—
50	#398	C₂²	1	4	yes	—
51	#398	C₂²	1	2	yes	—
52	#397	C₂²	1	4	yes	—
53	#396	C₂²	1	2	yes	—
54	#395	C₂²	1	4	yes	—
55	#395	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#395	C₂²	1	2	yes	—
57	#395	C₂²	1	4	yes	—
58	#394	C₂²	1	4	yes	—
59	#393	C₂²	1	4	yes	—
60	#393	C₂²	1	2	yes	—
61	#393	C₂²	1	2	yes	—
62	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#391	C₂²	1	2	yes	—
64	#390	C₂²	1	2	yes	—
65	#390	C₂²	1	2	yes	—
66	#389	C₂²	1	2	yes	—
67	#389	C₂²	1	4	yes	—
68	#389	C₂²	1	2	yes	—
69	#388	C₂²	1	4	yes	—
70	#388	C₂²	1	4	yes	—
71	#388	C₂²	1	4	yes	—
72	#388	C₂²	1	4	yes	—
73	#387	C₂²	1	4	yes	—
74	#387	C₂²	1	4	yes	—
75	#385	C₂²	1	4	yes	—
76	#384	C₂²	1	2	yes	—
77	#383	C₂²	1	2	yes	—
78	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	#380	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
84	#376	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
96	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
100	#126	—	2	8	no	—
101	#124	—	2	4	no	—
102	#124	—	2	8	no	—
103	#124	—	4	8	no	—
104	#123	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
108	#121	—	2	4	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	8	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
263	Q₈	—	2	8	no	—
264	Q₈	—	2	8	no	—
265	Q₈	—	8	4	no	—
266	Q₈	—	8	4	no	—
267	Q₈	—	8	8	no	—
268	D₄	—	4	4	no	—
269	D₄	—	8	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
311	C₂²	—	4	1	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	1	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
326	C₄	—	2	4	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	4	1	no	—
333	C₄	—	4	1	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	1	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	#536	1	4	yes	—
341	C₂	—	8	1	no	—
342	C₂	—	8	2	no	—
343	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3544	1	2	yes	—
347	C₂	#3550	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈²	C₂	semidirect
3. #2821	C₂	semidirect
4. #2677	C₂	semidirect
5. #2674	C₂	semidirect
6. #2658	C₂	semidirect
7. #2632	C₂	semidirect
8. #2628	C₂	semidirect
9. #2604	C₂	semidirect
10. #2580	C₂	semidirect
11. #2551	C₂	semidirect
12. #2542	C₂	semidirect
14. #2448	C₂	semidirect
15. #2423	C₂	semidirect
16. #2396	C₂	semidirect
17. #2356	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈²	2
C₂×#542	2
#2821	2
#2677	2
#2674	2
#2658	2
#2632	2
#2628	2
#2604	2
#2580	2
#2551	2
#2542	2
#2491	2
#2448	2
#2423	2
#2396	2
#2356	2