Subgroups — #4307629

Order 512.

4708 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 260 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×Q₈²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2341	C₂	1	3	yes	maximal
3	#15157	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#15144	C₂	1	9	yes	maximal, complemented
5	#15125	C₂	1	9	yes	maximal, complemented
6	C₄×#393	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	Q₈×#95	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×Q₈²	—	2	24	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	9	yes	—
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×#393	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#393	C₂²	1	18	yes	—
16	#2341	—	2	24	no	—
17	C₂×#390	C₂²	1	9	yes	—
18	C₂×#390	C₂²	1	9	yes	—
19	C₂×#380	C₂²	1	9	yes	—
20	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	9	yes	—
21	#1446	C₂²	1	6	yes	—
22	#1446	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1442	C₂²	1	9	yes	—
24	#1439	C₂²	1	18	yes	—
25	#1439	C₂²	1	9	yes	—
26	C₄⋊#95	C₂²	1	18	yes	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	9	yes	—
28	C₄×#95	C₂²	1	9	yes	—
29	C₂²×#41	—	2	12	no	—
30	C₂²×#41	—	2	12	no	—
31	C₂²×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
32	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
37	Q₈²	—	2	128	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	72	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	36	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	36	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	24	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	9	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	9	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	9	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	9	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	9	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	18	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	9	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	9	yes	—
53	#393	—	2	12	no	—
54	#393	—	4	36	no	—
55	#390	—	2	36	no	—
56	#390	—	2	36	no	—
57	#380	—	2	36	no	—
58	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	36	no	—
59	C₂×#95	C₂³	1	18	yes	—
60	C₂×#95	C₂³	1	9	yes	—
61	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
63	C₂×#95	C₂³	1	9	yes	—
64	C₂×#95	C₂³	1	18	yes	—
65	C₂⁵	C₂⁴	1	3	yes	—
66	C₂×#41	—	2	96	no	—
67	C₂×#41	—	4	16	no	—
68	C₂×#41	—	4	48	no	—
69	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
70	C₂²×Q₈	—	2	36	no	—
71	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
72	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
73	C₂²×Q₈	—	4	18	no	—
74	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
75	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
76	C₂²×Q₈	#41	1	12	yes	—
77	C₂²×Q₈	#41	1	4	yes	complemented
78	C₂²×D₄	—	2	18	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	18	no	—
80	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
81	C₂³×C₄	—	2	18	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	18	no	—
83	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂⁴	1	9	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂⁴	1	9	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
90	C₄⋊Q₈	—	2	288	no	—
91	C₄×Q₈	—	2	96	no	—
92	C₄×Q₈	—	2	96	no	—
93	C₄×Q₈	—	4	48	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	36	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	18	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	36	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	18	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	36	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	36	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	18	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	18	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	18	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	18	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	18	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	36	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	9	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	36	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	36	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	18	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	36	no	—
111	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	36	yes	—
112	#95	—	2	6	no	—
113	#95	—	2	18	no	—
114	#95	—	2	18	no	—
115	#95	—	2	36	no	—
116	#95	—	2	6	no	—
117	#95	—	4	18	no	—
118	C₂⁴	—	2	9	no	—
119	C₂⁴	—	2	3	no	—
120	C₂⁴	—	2	9	no	—
121	C₂⁴	—	2	9	no	—
122	C₂⁴	—	2	9	no	—
123	C₂⁴	—	2	3	no	—
124	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
125	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
126	#41	—	4	128	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
131	C₂×Q₈	—	8	36	no	—
132	C₂×Q₈	—	8	36	no	—
133	C₂×Q₈	#120	1	16	yes	—
134	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	48	yes	—
135	C₂×Q₈	#124	1	48	yes	—
136	C₂×D₄	—	2	72	no	—
137	C₂×D₄	—	4	12	no	—
138	C₂×D₄	—	4	36	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	18	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	18	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	9	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	9	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	72	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	9	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	9	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	18	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	18	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	9	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	36	no	—
159	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	18	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	18	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×#41	1	18	yes	—
166	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
167	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
168	C₄⋊C₄	—	2	72	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	72	no	—
170	C₄⋊C₄	—	4	36	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	36	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	4	36	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	8	36	no	—
174	C₄²	—	2	72	no	—
175	C₄²	—	4	36	no	—
176	C₂³	—	2	18	no	—
177	C₂³	—	2	6	no	—
178	C₂³	—	2	18	no	—
179	C₂³	—	4	3	no	—
180	C₂³	—	4	9	no	—
181	C₂³	—	4	9	no	—
182	C₂³	—	4	9	no	—
183	C₂³	—	4	9	no	—
184	C₂³	—	4	9	no	—
185	C₂³	—	4	9	no	—
186	C₂³	—	4	9	no	—
187	C₂³	—	4	18	no	—
188	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
189	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
191	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
193	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	3	yes	—
194	C₂³	#585	1	1	yes	characteristic
195	Q₈	—	2	32	no	—
196	Q₈	—	8	48	no	—
197	Q₈	#393	1	64	yes	complemented
198	D₄	—	4	48	no	—
199	C₂×C₄	—	2	6	no	—
200	C₂×C₄	—	2	12	no	—
201	C₂×C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄	—	2	12	no	—
203	C₂×C₄	—	2	18	no	—
204	C₂×C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄	—	2	18	no	—
207	C₂×C₄	—	2	18	no	—
208	C₂×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂×C₄	—	4	3	no	—
211	C₂×C₄	—	4	3	no	—
212	C₂×C₄	—	4	3	no	—
213	C₂×C₄	—	4	18	no	—
214	C₂×C₄	—	4	18	no	—
215	C₂×C₄	—	4	6	no	—
216	C₂×C₄	—	4	48	no	—
217	C₂×C₄	—	4	9	no	—
218	C₂×C₄	—	4	9	no	—
219	C₂×C₄	—	4	18	no	—
220	C₂×C₄	—	4	9	no	—
221	C₂×C₄	—	4	18	no	—
222	C₂×C₄	C₂×#120	1	12	yes	—
223	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	36	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×#124	1	36	yes	—
225	C₂×C₄	#548	1	12	yes	—
226	C₂²	—	4	18	no	—
227	C₂²	—	4	18	no	—
228	C₂²	—	4	6	no	—
229	C₂²	—	8	9	no	—
230	C₂²	—	8	9	no	—
231	C₂²	—	8	3	no	—
232	C₂²	—	8	3	no	—
233	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	3	yes	—
235	C₂²	C₂²×#124	1	3	yes	—
236	C₂²	C₂×#548	1	3	yes	—
237	C₂²	Q₈×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	#3483	1	3	yes	—
239	C₂²	#3486	1	3	yes	—
240	C₂²	#3488	1	3	yes	—
241	C₂²	#3498	1	3	yes	—
242	C₂²	#3503	1	3	yes	—
243	C₂²	#3518	1	3	yes	—
244	C₂²	#3522	1	6	yes	—
245	C₄	—	2	12	no	—
246	C₄	—	4	6	no	—
247	C₄	—	4	2	no	—
248	C₄	—	4	18	no	—
249	C₄	—	8	9	no	—
250	C₄	C₂×#393	1	24	yes	—
251	C₂	—	8	6	no	—
252	C₂	C₂²×#393	1	1	yes	characteristic
253	C₂	#35748	1	3	yes	—
254	C₂	#35948	1	3	yes	—
255	C₂	#36091	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#36456	1	3	yes	—
257	C₂	#36457	1	3	yes	—
258	C₂	#36575	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×Q₈²	C₂	semidirect
3. #15157	C₂	semidirect
4. #15144	C₂	semidirect
5. #15125	C₂	semidirect
6. C₄×#393	C₂	semidirect
7. Q₈×#95	C₂	semidirect
31. C₂²×#41	Q₈	semidirect
77. C₂²×Q₈	#41	semidirect
197. Q₈	#393	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×Q₈²	2
C₂×#2341	2
#15157	2
#15144	2
#15125	2
C₄×#393	2
Q₈×#95	2