Subgroups — #4308500

Order 512.

5266 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2857	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#15202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#15201	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#15181	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#15177	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#14686	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#14337	C₂	1	2	yes	maximal
9	#14264	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	6	yes	—
13	C₂×C₄×#41	—	2	24	no	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
20	#2857	—	2	24	no	—
21	C₂×#391	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#384	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
29	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
30	#1446	C₂²	1	4	yes	—
31	#1444	C₂²	1	12	yes	—
32	#1442	C₂²	1	12	yes	—
33	#1439	C₂²	1	24	yes	—
34	#1438	C₂²	1	12	yes	—
35	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
37	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
38	C₂²×#41	—	2	12	no	—
39	C₂²×#41	—	2	12	no	—
40	C₂²×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
50	C₄×#41	—	2	128	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
57	C₂×#117	—	2	12	no	—
58	C₂×#117	—	2	24	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
70	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
71	C₂²×C₄²	D₄	1	24	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#391	—	2	24	no	—
77	#389	—	2	24	no	—
78	#389	—	2	24	no	—
79	#384	—	2	12	no	—
80	#380	—	2	24	no	—
81	#380	—	2	24	no	—
82	#380	—	2	24	no	—
83	#380	—	4	12	no	—
84	#380	—	4	12	no	—
85	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
90	C₂⁵	C₂⁴	1	3	yes	—
91	C₂×#41	—	2	32	no	—
92	C₂×#41	—	2	96	no	—
93	C₂×#41	—	2	96	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
104	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
119	C₂³×C₄	#41	1	12	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	96	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
132	C₄×D₄	—	2	96	no	—
133	C₄×D₄	—	2	96	no	—
134	#117	—	2	96	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
166	#95	—	2	24	no	—
167	#95	—	2	24	no	—
168	#95	—	2	24	no	—
169	#95	—	4	12	no	—
170	#95	—	4	12	no	—
171	C₂⁴	—	2	6	no	—
172	C₂⁴	—	2	6	no	—
173	C₂⁴	—	2	6	no	—
174	C₂⁴	—	2	3	no	—
175	C₂⁴	—	2	3	no	—
176	C₂⁴	—	2	6	no	—
177	C₂⁴	—	2	3	no	—
178	C₂⁴	—	2	3	no	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
180	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
181	C₂⁴	C₂×#41	1	6	yes	—
182	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
183	#41	—	2	256	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
190	C₂×D₄	—	2	24	no	—
191	C₂×D₄	—	2	24	no	—
192	C₂×D₄	—	2	48	no	—
193	C₂×D₄	—	2	48	no	—
194	C₂×D₄	—	2	24	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
227	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	48	yes	complemented
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	24	no	—
253	C₄²	—	2	24	no	—
254	C₄²	—	2	24	no	—
255	C₄²	—	2	24	no	—
256	C₄²	#120	1	16	yes	—
257	C₂³	—	2	6	no	—
258	C₂³	—	2	12	no	—
259	C₂³	—	2	6	no	—
260	C₂³	—	2	12	no	—
261	C₂³	—	2	6	no	—
262	C₂³	—	2	6	no	—
263	C₂³	—	2	6	no	—
264	C₂³	—	2	6	no	—
265	C₂³	—	2	12	no	—
266	C₂³	—	2	6	no	—
267	C₂³	—	2	6	no	—
268	C₂³	—	2	6	no	—
269	C₂³	—	2	6	no	—
270	C₂³	—	2	12	no	—
271	C₂³	—	4	6	no	—
272	C₂³	—	4	6	no	—
273	C₂³	—	4	6	no	—
274	C₂³	—	4	6	no	—
275	C₂³	—	4	6	no	—
276	C₂³	—	4	6	no	—
277	C₂³	—	4	6	no	—
278	C₂³	—	4	6	no	—
279	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
280	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
281	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
283	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
284	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	3	yes	—
286	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	32	no	—
288	Q₈	—	8	16	no	—
289	D₄	—	2	96	no	—
290	C₂×C₄	—	2	6	no	—
291	C₂×C₄	—	2	12	no	—
292	C₂×C₄	—	2	6	no	—
293	C₂×C₄	—	2	12	no	—
294	C₂×C₄	—	2	96	no	—
295	C₂×C₄	—	2	6	no	—
296	C₂×C₄	—	2	6	no	—
297	C₂×C₄	—	2	6	no	—
298	C₂×C₄	—	2	6	no	—
299	C₂×C₄	—	2	6	no	—
300	C₂×C₄	—	2	6	no	—
301	C₂×C₄	—	4	6	no	—
302	C₂×C₄	—	4	6	no	—
303	C₂×C₄	—	4	6	no	—
304	C₂×C₄	—	4	6	no	—
305	C₂×C₄	—	4	48	no	—
306	C₂×C₄	—	4	48	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	12	no	—
309	C₂×C₄	—	4	12	no	—
310	C₂×C₄	—	4	12	no	—
311	C₂×C₄	—	4	12	no	—
312	C₂×C₄	—	4	12	no	—
313	C₂×C₄	—	4	24	no	—
314	C₂×C₄	—	4	24	no	—
315	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
320	C₂×C₄	#525	1	12	yes	—
321	C₂×C₄	#535	1	12	yes	—
322	C₂×C₄	#536	1	12	yes	—
323	C₂×C₄	#537	1	12	yes	—
324	C₂×C₄	#537	1	12	yes	—
325	C₂²	—	2	12	no	—
326	C₂²	—	2	12	no	—
327	C₂²	—	2	12	no	—
328	C₂²	—	4	6	no	—
329	C₂²	—	4	6	no	—
330	C₂²	—	4	12	no	—
331	C₂²	—	4	12	no	—
332	C₂²	—	4	6	no	—
333	C₂²	—	4	12	no	—
334	C₂²	—	4	6	no	—
335	C₂²	—	4	12	no	—
336	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	3	yes	—
338	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
339	C₂²	C₂×#535	1	3	yes	—
340	C₂²	C₂×#536	1	3	yes	—
341	C₂²	C₂×#537	1	3	yes	—
342	C₂²	C₂×#537	1	3	yes	—
343	C₂²	#3503	1	3	yes	—
344	C₂²	#3503	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3508	1	3	yes	—
346	C₂²	#3509	1	3	yes	—
347	C₂²	#3511	1	6	yes	—
348	C₄	—	2	12	no	—
349	C₄	—	4	6	no	—
350	C₄	—	4	6	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	—	8	12	no	—
353	C₄	#2615	1	8	yes	—
354	C₄	#2616	1	8	yes	—
355	C₄	#2848	1	8	yes	—
356	C₂	—	4	12	no	—
357	C₂	C₂×#2615	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#2616	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#35279	1	3	yes	—
360	C₂	#35280	1	3	yes	—
361	C₂	#35292	1	3	yes	—
362	C₂	#35297	1	3	yes	—
363	C₂	C₂×#2848	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2857	C₂	semidirect
3. #15202	C₂	semidirect
4. #15201	C₂	semidirect
5. #15181	C₂	semidirect
6. #15177	C₂	semidirect
7. #14686	C₂	semidirect
9. #14264	C₂	semidirect
40. C₂²×#41	Q₈	semidirect
227. C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×#2857	2
#15202	2
#15201	2
#15181	2
#15177	2
#14686	2
#14337	2
#14264	2