Subgroups — #4308728

Order 512.

5140 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 262 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2854	C₂	1	3	yes	maximal
3	#15202	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#15157	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#15069	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#14873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#14685	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#14301	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#123	C₂²	1	6	yes	—
11	C₂²×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
17	#2854	—	2	24	no	—
18	C₂×#393	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#388	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×#386	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#381	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	3	yes	—
25	#1446	C₂²	1	8	yes	—
26	#1444	C₂²	1	24	yes	—
27	#1439	C₂²	1	24	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
29	#1434	C₂²	1	12	yes	—
30	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
31	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
32	C₂³×Q₈	—	2	12	no	—
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#123	—	2	24	no	—
40	C₂×#123	—	4	24	no	—
41	C₂×#121	—	2	12	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	128	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	48	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	24	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
59	#393	—	2	32	no	—
60	#390	—	2	24	no	—
61	#389	—	2	24	no	—
62	#388	—	2	48	no	—
63	#386	—	2	24	no	—
64	#381	—	4	12	no	—
65	#380	—	2	12	no	—
66	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
67	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
70	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
71	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
73	C₂²×Q₈	—	2	192	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
75	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
76	C₂²×Q₈	#41	1	16	yes	—
77	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	#123	—	4	96	no	—
99	#121	—	4	16	no	—
100	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
101	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
122	#95	—	2	12	no	—
123	#95	—	2	24	no	—
124	#95	—	2	48	no	—
125	#95	—	4	24	no	—
126	C₂⁴	—	2	4	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	—	2	6	no	—
129	C₂⁴	—	2	8	no	—
130	C₂⁴	—	2	6	no	—
131	C₂⁴	—	2	8	no	—
132	C₂⁴	—	2	2	no	—
133	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
134	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
135	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
136	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
137	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	256	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
141	C₂×D₄	—	4	8	no	—
142	C₂×D₄	—	4	24	no	—
143	C₂×D₄	—	4	24	no	—
144	C₂×D₄	—	4	4	no	—
145	C₂×D₄	—	4	24	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
169	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
175	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
176	C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
184	C₄²	—	2	48	no	—
185	C₄²	—	2	48	no	—
186	C₂³	—	2	12	no	—
187	C₂³	—	2	12	no	—
188	C₂³	—	2	24	no	—
189	C₂³	—	2	8	no	—
190	C₂³	—	4	2	no	—
191	C₂³	—	4	12	no	—
192	C₂³	—	4	6	no	—
193	C₂³	—	4	12	no	—
194	C₂³	—	4	6	no	—
195	C₂³	—	4	24	no	—
196	C₂³	—	4	8	no	—
197	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
198	C₂³	#535	1	12	yes	—
199	C₂³	#537	1	12	yes	—
200	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
201	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
202	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
203	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
204	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
205	Q₈	—	2	128	no	—
206	D₄	—	8	16	no	—
207	D₄	—	8	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	96	no	—
209	C₂×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂×C₄	—	2	12	no	—
211	C₂×C₄	—	2	48	no	—
212	C₂×C₄	—	2	12	no	—
213	C₂×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂×C₄	—	2	12	no	—
215	C₂×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂×C₄	—	2	12	no	—
217	C₂×C₄	—	4	48	no	—
218	C₂×C₄	—	4	12	no	—
219	C₂×C₄	—	4	12	no	—
220	C₂×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	—	4	12	no	—
222	C₂×C₄	—	4	12	no	—
223	C₂×C₄	—	4	6	no	—
224	C₂×C₄	—	4	12	no	—
225	C₂×C₄	—	4	6	no	—
226	C₂×C₄	—	4	48	no	—
227	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
228	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
229	C₂×C₄	#525	1	24	yes	—
230	C₂×C₄	#536	1	24	yes	—
231	C₂²	—	2	4	no	—
232	C₂²	—	2	4	no	—
233	C₂²	—	2	24	no	—
234	C₂²	—	2	24	no	—
235	C₂²	—	8	2	no	—
236	C₂²	—	8	2	no	—
237	C₂²	—	8	2	no	—
238	C₂²	—	8	12	no	—
239	C₂²	—	8	12	no	—
240	C₂²	#2615	1	8	yes	—
241	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
242	C₂²	C₂×#525	1	6	yes	—
243	C₂²	C₂×#535	1	3	yes	—
244	C₂²	C₂×#536	1	6	yes	—
245	C₂²	C₂×#537	1	3	yes	—
246	C₂²	#3522	1	12	yes	—
247	C₂²	#3523	1	4	yes	—
248	C₄	—	2	24	no	—
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	—	4	12	no	—
251	C₄	—	8	2	no	—
252	C₄	—	8	12	no	—
253	C₄	#2614	1	8	yes	—
254	C₂	—	2	8	no	—
255	C₂	—	16	2	no	—
256	C₂	C₂×#2614	1	1	yes	characteristic
257	C₂	C₂×#2615	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#35247	1	6	yes	—
259	C₂	#35249	1	6	yes	—
260	C₂	#36614	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #15202	C₂	semidirect
4. #15157	C₂	semidirect
5. #15069	C₂	semidirect
6. #14873	C₂	semidirect
7. #14685	C₂	semidirect
8. #14301	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×Q₈	2
C₂×#2854	2
#15202	2
#15157	2
#15069	2
#14873	2
#14685	2
#14301	2