Subgroups — #438625

Order 512.

1025 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23560	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#23461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20863	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11294	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11082	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10839	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3458	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2911	C₂²	1	2	yes	—
13	#2911	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	#2896	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2285	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2061	—	2	4	no	—
22	#2060	—	2	4	no	—
23	#2028	—	2	2	no	—
24	#2027	—	2	2	no	—
25	#1860	—	2	4	no	—
26	#1859	—	2	4	no	—
27	#1857	—	2	2	no	—
28	#1856	—	2	2	no	—
29	#1742	C₂²	1	2	yes	—
30	#1742	C₂²	1	2	yes	—
31	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
38	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#544	—	2	4	no	—
44	#544	—	2	2	no	—
45	#543	—	4	1	no	—
46	#533	—	4	1	no	—
47	#533	—	4	2	no	—
48	#520	—	2	4	no	—
49	#519	—	2	1	no	—
50	#518	—	2	1	no	—
51	#518	—	4	1	no	—
52	C₄×#41	—	4	2	no	—
53	C₂×#117	—	4	1	no	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	—	4	1	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	#428	—	2	4	no	—
61	#428	—	2	4	no	—
62	#428	—	2	4	no	—
63	#428	—	2	4	no	—
64	#427	—	4	2	no	—
65	#427	—	4	2	no	—
66	#423	—	2	4	no	—
67	#423	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
69	C₂×#104	—	2	2	no	—
70	C₂×#104	—	2	2	no	—
71	C₂×#104	—	2	4	no	—
72	C₂×#104	Q₈	1	8	yes	complemented
73	#419	—	2	2	no	—
74	#418	—	2	2	no	—
75	#417	—	2	4	no	—
76	#416	—	4	2	no	—
77	#413	—	2	4	no	—
78	C₂×#101	—	2	1	no	—
79	C₂×#100	—	2	1	no	—
80	#391	D₄	1	2	yes	—
81	#390	D₄	1	2	yes	—
82	#386	—	4	1	no	—
83	#384	D₄	1	4	yes	—
84	#382	D₄	1	4	yes	—
85	#380	—	4	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
88	C₄³	—	2	4	no	—
89	#343	—	2	4	no	—
90	#343	—	2	4	no	—
91	#343	—	2	2	no	—
92	#339	—	2	2	no	—
93	#339	—	2	2	no	—
94	#339	—	2	2	no	—
95	#339	—	2	2	no	—
96	#339	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	2	no	—
98	#339	—	2	2	no	—
99	#339	—	2	4	no	—
100	#338	—	2	4	no	—
101	#336	—	4	1	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
138	#125	—	4	4	no	—
139	#125	—	4	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	8	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	4	2	no	—
157	#117	—	4	2	no	—
158	#117	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
186	#107	—	4	4	no	—
187	#107	—	4	4	no	—
188	#106	—	4	4	no	—
189	#106	—	4	4	no	—
190	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
191	#104	—	2	8	no	—
192	#104	—	2	8	no	—
193	#103	—	4	4	no	—
194	#102	—	4	4	no	—
195	#101	—	2	4	no	—
196	#100	—	2	4	no	—
197	#95	—	4	2	no	—
198	#95	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	2	1	no	—
200	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	1	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	1	no	—
220	C₂×D₄	—	4	1	no	—
221	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	2	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	4	16	no	—
291	C₄²	—	4	4	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	1	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	1	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
300	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	1	no	—
304	C₂³	—	4	1	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	#534	1	2	yes	—
307	C₂³	#534	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#551	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	#554	1	2	yes	—
310	C₂³	#563	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	2	4	no	—
312	Q₈	—	4	2	no	—
313	Q₈	—	16	4	no	—
314	D₄	—	2	4	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	16	4	no	—
341	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₈	—	4	4	no	—
359	C₈	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	1	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	16	1	no	—
369	C₂²	#2564	1	2	yes	—
370	C₂²	#2583	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2679	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2717	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2729	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	8	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	8	4	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	#2440	1	2	yes	—
382	C₄	#2452	1	2	yes	—
383	C₄	#2461	1	2	yes	—
384	C₄	#2763	1	2	yes	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	8	2	no	—
390	C₂	#15622	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#31076	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2679
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23560	C₂	semidirect
5. #11294	C₂	semidirect
6. #11243	C₂	semidirect
9. #10839	C₂	semidirect
72. C₂×#104	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23560	2
#23461	2
#20863	2
#20855	2
#11294	2
#11243	2
#11082	2
#10923	2
#10839	2