Subgroups — #450224

Order 512.

1051 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20964	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20860	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20852	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11368	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11103	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10996	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
18	#2879	C₂²	1	2	yes	—
19	#2879	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
21	#1891	—	2	8	no	—
22	#1858	—	2	8	no	—
23	#1855	—	2	8	no	—
24	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
26	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1738	C₂²	1	2	yes	—
28	#1738	C₂²	1	2	yes	—
29	#1738	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	#568	—	2	4	no	—
36	#568	—	2	4	no	—
37	#568	—	4	2	no	—
38	#568	—	4	2	no	—
39	C₂×#131	—	4	2	no	—
40	C₂×#131	—	4	2	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#537	—	4	1	no	—
50	#536	—	2	2	no	—
51	#535	—	2	2	no	—
52	#534	Q₈	1	4	yes	—
53	#532	—	4	1	no	—
54	#525	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#430	—	2	4	no	—
57	#430	—	2	4	no	—
58	#430	—	4	1	no	—
59	#430	—	4	2	no	—
60	#430	—	4	2	no	—
61	#430	D₄	1	4	yes	complemented
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	—	4	1	no	—
65	C₂×#108	—	4	1	no	—
66	C₂×#108	—	4	2	no	—
67	#413	—	2	4	no	—
68	#413	—	2	4	no	—
69	#413	—	2	4	no	—
70	#413	—	4	2	no	—
71	C₂×#101	—	2	2	no	—
72	C₂×#101	—	2	2	no	—
73	C₂×#100	—	2	2	no	—
74	C₂×#100	—	2	2	no	—
75	#408	—	2	4	no	—
76	#408	—	2	4	no	—
77	#408	—	2	4	no	—
78	#408	—	4	2	no	—
79	#408	—	4	2	no	—
80	#408	—	4	2	no	—
81	#407	—	2	4	no	—
82	#407	D₄	1	8	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
84	#344	—	2	4	no	—
85	#344	—	2	4	no	—
86	#343	—	4	1	no	—
87	#341	—	2	4	no	—
88	#341	—	2	4	no	—
89	#341	—	2	4	no	—
90	#341	—	2	4	no	—
91	#341	—	2	2	no	—
92	#338	—	4	1	no	—
93	#336	—	4	1	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	#131	—	4	8	no	—
112	#131	—	4	8	no	—
113	#131	—	4	8	no	—
114	#131	—	4	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
165	#127	—	4	1	no	—
166	#124	—	4	2	no	—
167	#123	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	#121	—	4	4	no	—
170	#121	—	4	4	no	—
171	#120	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	4	4	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	#108	—	4	4	no	—
179	#108	—	4	4	no	—
180	#108	—	4	8	no	—
181	#108	—	4	8	no	—
182	#101	—	2	8	no	—
183	#101	—	4	4	no	—
184	#100	—	2	8	no	—
185	#100	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	#41	—	4	2	no	—
192	#41	—	4	2	no	—
193	#41	—	4	2	no	—
194	#41	—	4	2	no	—
195	#41	—	4	2	no	—
196	#41	—	4	2	no	—
197	#41	—	4	2	no	—
198	#41	—	4	2	no	—
199	#41	—	4	2	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	#41	—	4	2	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	2	no	—
204	#41	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	4	no	—
247	M₁₆	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	4	16	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	2	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	16	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	1	no	—
285	C₂×C₈	—	4	1	no	—
286	C₂×C₈	—	4	1	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₄²	—	4	1	no	—
296	C₄²	—	4	1	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	8	1	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
303	C₂³	#543	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	#554	1	2	yes	—
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	4	2	no	—
310	Q₈	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	4	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	D₄	—	4	2	no	—
319	D₄	—	16	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#539	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#562	1	1	yes	characteristic
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	4	4	no	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	8	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	#2437	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2449	1	2	yes	—
365	C₂²	#2579	1	2	yes	—
366	C₂²	#2732	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2804	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	#2455	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2456	1	2	yes	—
372	C₄	#2600	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2679	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2708	1	2	yes	—
375	C₄	#2782	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	2	2	no	—
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	8	4	no	—
382	C₂	#15961	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2679
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#15961
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20860	C₂	semidirect
3. #20852	C₂	semidirect
4. #11368	C₂	semidirect
5. #11272	C₂	semidirect
6. #11254	C₂	semidirect
7. #11137	C₂	semidirect
8. #11103	C₂	semidirect
61. #430	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20964	2
#20860	2
#20852	2
#11368	2
#11272	2
#11254	2
#11137	2
#11103	2
#10996	2