Subgroups — #45103

Order 256.

1632 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2671	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2668	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2424	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2388	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#546	—	2	16	no	—
20	#537	—	2	16	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
42	#399	C₂²	1	2	yes	—
43	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#396	C₂²	1	4	yes	—
47	#395	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#394	C₂²	1	2	yes	—
49	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#394	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#392	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#392	C₂²	1	2	yes	—
57	#392	C₂²	1	2	yes	—
58	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#390	C₂²	1	2	yes	—
60	#390	C₂²	1	2	yes	—
61	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	4	yes	—
64	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#379	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
77	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#41	—	2	8	no	—
79	C₂×#41	—	2	8	no	—
80	C₂×#41	—	2	8	no	—
81	C₂×#41	—	4	2	no	—
82	C₂×#41	—	4	4	no	—
83	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
103	#124	—	2	8	no	—
104	#123	—	2	16	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
109	#121	—	2	8	no	—
110	#121	—	2	16	no	—
111	#121	—	2	16	no	—
112	#121	—	2	16	no	—
113	#121	—	2	16	no	—
114	#121	D₄	1	16	yes	complemented
115	#120	—	2	16	no	—
116	#120	—	4	4	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	4	8	no	—
120	C₄×D₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂⁴	—	2	8	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#41	—	4	16	no	—
174	#41	—	4	32	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	1	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	1	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	16	no	—
204	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	16	no	—
288	C₂³	—	8	8	no	—
289	C₂³	—	8	4	no	—
290	C₂³	—	8	4	no	—
291	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
292	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	Q₈	—	4	8	no	—
297	D₄	—	2	16	no	—
298	D₄	—	4	16	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	16	no	—
305	D₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	16	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	8	no	—
335	C₂×C₄	—	8	8	no	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	4	1	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	—	4	1	no	—
365	C₂²	—	8	16	no	—
366	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#585	1	2	yes	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	8	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	1	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	1	no	—
381	C₄	D₄²	1	4	yes	—
382	C₂	—	4	4	no	—
383	C₂	—	4	8	no	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	8	1	no	—
386	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#3489	1	2	yes	—
388	C₂	#3496	1	2	yes	—
389	C₂	#3536	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#3551	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#546	C₂	semidirect
2. C₂×#537	C₂	semidirect
3. #2680	C₂	semidirect
4. #2671	C₂	semidirect
5. #2668	C₂	semidirect
6. #2542	C₂	semidirect
7. #2537	C₂	semidirect
8. #2437	C₂	semidirect
9. #2432	C₂	semidirect
10. #2427	C₂	semidirect
11. #2424	C₂	semidirect
12. #2417	C₂	semidirect
13. #2408	C₂	semidirect
14. #2388	C₂	semidirect
15. #2361	C₂	semidirect
17. C₂²×#41	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#121	C₂²	semidirect
32. C₂×#121	C₂²	semidirect
33. C₂×#121	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
40. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
43. #399	C₂²	semidirect
44. #398	C₂²	semidirect
45. #397	C₂²	semidirect
47. #395	C₂²	semidirect
49. #394	C₂²	semidirect
50. #394	C₂²	semidirect
51. #394	C₂²	semidirect
52. #394	C₂²	semidirect
53. #394	C₂²	semidirect
58. #391	C₂²	semidirect
61. #389	C₂²	semidirect
62. #388	C₂²	semidirect
64. #386	C₂²	semidirect
65. #386	C₂²	semidirect
66. #385	C₂²	semidirect
67. #385	C₂²	semidirect
68. #385	C₂²	semidirect
69. #384	C₂²	semidirect
71. #380	C₂²	semidirect
72. #380	C₂²	semidirect
74. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
75. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
76. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
114. #121	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
C₂×#537	2
#2680	2
#2671	2
#2668	2
#2542	2
#2537	2
#2437	2
#2432	2
#2427	2
#2424	2
#2417	2
#2408	2
#2388	2
#2361	2