Subgroups — #45214

Order 256.

1044 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2749	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#2735	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2572	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2420	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#2395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	#400	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#399	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#398	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#397	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#397	C₂²	1	4	yes	—
33	#397	C₂²	1	2	yes	—
34	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#394	C₂²	1	2	yes	—
39	#394	C₂²	1	2	yes	—
40	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#392	C₂²	1	2	yes	—
43	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#390	C₂²	1	2	yes	—
45	#390	C₂²	1	2	yes	—
46	#390	C₂²	1	2	yes	—
47	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	4	yes	—
51	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#383	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#379	C₂²	1	4	yes	—
68	#379	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
88	#124	—	4	4	no	—
89	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
90	#121	—	2	8	no	—
91	#120	—	4	4	no	—
92	C₄×D₄	—	2	8	no	—
93	C₄×D₄	—	4	4	no	—
94	C₄×D₄	—	4	2	no	—
95	#117	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	2	yes	—
132	#95	C₂³	1	2	yes	—
133	#95	C₂³	1	2	yes	—
134	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	#95	C₂³	1	2	yes	—
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	2	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂⁴	—	2	8	no	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	4	2	no	—
149	C₂⁴	—	4	4	no	—
150	C₂⁴	—	4	2	no	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	2	4	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	4	1	no	—
164	C₂×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂×D₄	—	4	4	no	—
166	C₂×D₄	—	4	4	no	—
167	C₂×D₄	—	4	16	no	—
168	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	4	4	no	—
224	C₄²	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	1	no	—
230	C₂³	—	2	1	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	1	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	4	8	no	—
241	C₂³	—	4	16	no	—
242	C₂³	—	8	8	no	—
243	C₂³	—	8	4	no	—
244	C₂³	—	8	4	no	—
245	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
246	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
247	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	Q₈	—	8	4	no	—
249	D₄	—	2	16	no	—
250	D₄	—	4	4	no	—
251	D₄	—	4	8	no	—
252	D₄	—	8	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	8	8	no	—
285	C₂×C₄	—	8	8	no	—
286	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
289	C₂²	—	2	8	no	—
290	C₂²	—	2	8	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	2	8	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	4	1	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	4	no	—
299	C₂²	—	4	4	no	—
300	C₂²	—	4	1	no	—
301	C₂²	—	4	1	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	1	no	—
305	C₂²	—	4	1	no	—
306	C₂²	—	8	16	no	—
307	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
308	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#585	1	2	yes	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	4	1	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	2	no	—
318	C₄	—	4	4	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	—	4	4	no	—
321	C₄	—	4	2	no	—
322	C₄	—	4	1	no	—
323	C₄	#551	1	4	yes	—
324	C₂	—	4	8	no	—
325	C₂	—	4	2	no	—
326	C₂	—	8	1	no	—
327	C₂	C₂×#551	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#3513	1	2	yes	—
329	C₂	#3514	1	2	yes	—
330	C₂	#3537	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#3551	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2408	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2749	C₂	semidirect
2. #2735	C₂	semidirect
3. #2728	C₂	semidirect
4. #2572	C₂	semidirect
5. #2547	C₂	semidirect
6. #2495	C₂	semidirect
7. #2483	C₂	semidirect
8. #2472	C₂	semidirect
9. #2452	C₂	semidirect
10. #2420	C₂	semidirect
12. #2395	C₂	semidirect
13. #2357	C₂	semidirect
14. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
15. #2324	C₂	semidirect
17. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂×#117	C₂²	semidirect
27. #400	C₂²	semidirect
28. #400	C₂²	semidirect
30. #398	C₂²	semidirect
34. #397	C₂²	semidirect
35. #397	C₂²	semidirect
36. #397	C₂²	semidirect
37. #396	C₂²	semidirect
40. #394	C₂²	semidirect
41. #393	C₂²	semidirect
43. #391	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
48. #389	C₂²	semidirect
49. #389	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #388	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
56. #386	C₂²	semidirect
57. #386	C₂²	semidirect
58. #385	C₂²	semidirect
59. #385	C₂²	semidirect
60. #383	C₂²	semidirect
61. #382	C₂²	semidirect
62. #381	C₂²	semidirect
63. #381	C₂²	semidirect
66. #380	C₂²	semidirect
69. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
70. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
71. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
74. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2749	2
#2735	2
#2728	2
#2572	2
#2547	2
#2495	2
#2483	2
#2472	2
#2452	2
#2420	2
#2408	2
#2395	2
#2357	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2324	2