Subgroups — #45439

Order 256.

2078 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2846	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2812	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2684	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#2679	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#2670	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#2472	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#2435	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#2403	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#2375	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	H(3,𝔽₄)	—	2	8	no	—
16	C₂×#124	C₂²	1	6	yes	complemented
17	C₂×#124	C₂²	1	3	yes	complemented
18	C₂×#124	C₂²	1	3	yes	complemented
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	complemented
20	C₂×#120	—	2	8	no	—
21	C₂×#120	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂×#120	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	3	yes	complemented
26	C₂×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#120	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	3	yes	complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	3	yes	complemented
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
31	#397	C₂²	1	6	yes	complemented
32	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
34	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#393	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
38	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	3	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	3	yes	complemented
41	#390	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#388	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#388	C₂²	1	6	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	3	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	3	yes	complemented
46	#386	C₂²	1	6	yes	complemented
47	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#379	C₂²	1	6	yes	complemented
49	#379	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#379	C₂²	1	3	yes	complemented
51	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
52	C₂⁵	—	2	4	no	—
53	C₂⁵	—	4	6	no	—
54	C₂⁵	—	4	6	no	—
55	C₂⁵	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁵	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	complemented
61	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
62	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
63	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
64	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	complemented
73	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
75	#124	—	2	12	no	—
76	#124	—	2	24	no	—
77	#124	—	4	6	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
79	#120	—	2	4	no	—
80	#120	—	2	8	no	—
81	#120	—	2	12	no	—
82	#120	—	2	12	no	—
83	#120	—	2	12	no	—
84	#120	—	4	12	no	—
85	#120	—	4	12	no	—
86	#120	—	4	6	no	—
87	#120	D₄	1	8	yes	complemented
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	complemented
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	complemented
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	complemented
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
106	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	complemented
107	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	complemented
108	#95	C₂³	1	6	yes	complemented
109	#95	C₂³	1	6	yes	complemented
110	#95	C₂³	1	6	yes	complemented
111	C₂⁴	—	2	6	no	—
112	C₂⁴	—	2	6	no	—
113	C₂⁴	—	2	6	no	—
114	C₂⁴	—	2	6	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	12	no	—
117	C₂⁴	—	2	12	no	—
118	C₂⁴	—	2	6	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	4	6	no	—
121	C₂⁴	—	4	3	no	—
122	C₂⁴	—	4	3	no	—
123	C₂⁴	—	4	6	no	—
124	C₂⁴	—	4	3	no	—
125	C₂⁴	—	4	3	no	—
126	C₂⁴	—	4	3	no	—
127	C₂⁴	—	4	3	no	—
128	C₂⁴	—	4	3	no	—
129	C₂⁴	—	4	48	no	—
130	C₂⁴	—	4	48	no	—
131	C₂⁴	—	4	16	no	—
132	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
133	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
136	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
138	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
141	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
142	C₂×D₄	—	2	6	no	—
143	C₂×D₄	—	2	6	no	—
144	C₂×D₄	—	2	6	no	—
145	C₂×D₄	—	2	12	no	—
146	C₂×D₄	—	2	6	no	—
147	C₂×D₄	—	2	12	no	—
148	C₂×D₄	—	2	12	no	—
149	C₂×D₄	—	2	6	no	—
150	C₂×D₄	—	4	3	no	—
151	C₂×D₄	—	4	3	no	—
152	C₂×D₄	—	4	3	no	—
153	C₂×D₄	—	4	3	no	—
154	C₂×D₄	—	4	3	no	—
155	C₂×D₄	—	4	3	no	—
156	C₂×D₄	—	4	6	no	—
157	C₂×D₄	—	4	6	no	—
158	C₂×D₄	—	4	6	no	—
159	C₂×D₄	—	4	6	no	—
160	C₂×D₄	—	4	6	no	—
161	C₂×D₄	—	4	48	no	—
162	C₂×D₄	—	4	16	no	—
163	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
173	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
174	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
189	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
190	C₄²	—	2	6	no	—
191	C₄²	—	4	3	no	—
192	C₂³	—	2	1	no	—
193	C₂³	—	2	3	no	—
194	C₂³	—	2	24	no	—
195	C₂³	—	2	3	no	—
196	C₂³	—	2	3	no	—
197	C₂³	—	2	6	no	—
198	C₂³	—	2	6	no	—
199	C₂³	—	2	6	no	—
200	C₂³	—	2	6	no	—
201	C₂³	—	2	3	no	—
202	C₂³	—	2	3	no	—
203	C₂³	—	2	3	no	—
204	C₂³	—	2	3	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	1	no	—
207	C₂³	—	2	3	no	—
208	C₂³	—	2	6	no	—
209	C₂³	—	2	6	no	—
210	C₂³	—	2	3	no	—
211	C₂³	—	4	12	no	—
212	C₂³	—	4	24	no	—
213	C₂³	—	4	24	no	—
214	C₂³	—	4	24	no	—
215	C₂³	—	4	12	no	—
216	C₂³	—	4	12	no	—
217	C₂³	—	4	12	no	—
218	C₂³	—	4	12	no	—
219	C₂³	—	4	24	no	—
220	C₂³	—	4	128	no	—
221	C₂³	—	4	4	no	—
222	C₂³	—	4	12	no	—
223	C₂³	—	4	12	no	—
224	C₂³	—	4	12	no	—
225	C₂³	—	4	4	no	—
226	C₂³	—	4	4	no	—
227	C₂³	—	8	6	no	—
228	C₂³	—	8	6	no	—
229	C₂³	—	8	6	no	—
230	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
231	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
233	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
234	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
235	Q₈	—	8	6	no	—
236	D₄	—	4	12	no	—
237	D₄	—	4	12	no	—
238	D₄	—	4	12	no	—
239	D₄	—	4	12	no	—
240	D₄	—	4	8	no	—
241	D₄	—	4	8	no	—
242	D₄	—	8	12	no	—
243	D₄	—	8	12	no	—
244	C₂×C₄	—	2	3	no	—
245	C₂×C₄	—	2	3	no	—
246	C₂×C₄	—	2	6	no	—
247	C₂×C₄	—	2	3	no	—
248	C₂×C₄	—	2	6	no	—
249	C₂×C₄	—	2	6	no	—
250	C₂×C₄	—	2	6	no	—
251	C₂×C₄	—	2	6	no	—
252	C₂×C₄	—	2	6	no	—
253	C₂×C₄	—	2	3	no	—
254	C₂×C₄	—	2	6	no	—
255	C₂×C₄	—	2	3	no	—
256	C₂×C₄	—	4	12	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
259	C₂²	—	2	6	no	—
260	C₂²	—	2	6	no	—
261	C₂²	—	2	6	no	—
262	C₂²	—	2	6	no	—
263	C₂²	—	2	6	no	—
264	C₂²	—	2	12	no	—
265	C₂²	—	2	12	no	—
266	C₂²	—	4	48	no	—
267	C₂²	—	4	16	no	—
268	C₂²	—	4	48	no	—
269	C₂²	—	4	6	no	—
270	C₂²	—	4	1	no	—
271	C₂²	—	4	3	no	—
272	C₂²	—	4	3	no	—
273	C₂²	—	4	6	no	—
274	C₂²	—	4	3	no	—
275	C₂²	—	4	3	no	—
276	C₂²	—	4	3	no	—
277	C₂²	—	4	3	no	—
278	C₂²	—	4	6	no	—
279	C₂²	—	4	1	no	—
280	C₂²	—	4	2	no	—
281	C₂²	—	4	6	no	—
282	C₂²	—	4	3	no	—
283	C₂²	—	8	8	no	—
284	C₂²	—	8	8	no	—
285	C₂²	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	complemented
286	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
288	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
289	C₄	—	2	6	no	—
290	C₄	—	4	3	no	—
291	C₄	—	4	6	no	—
292	C₄	—	4	2	no	—
293	C₄	—	4	6	no	—
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	—	4	6	no	—
296	C₂	—	4	6	no	—
297	C₂	—	4	2	no	—
298	C₂	—	8	1	no	—
299	C₂	—	8	2	no	—
300	C₂	#3484	1	3	yes	—
301	C₂	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#3532	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	semidirect
2. C₂²×#120	C₂	semidirect
3. #2846	C₂	semidirect
4. #2812	C₂	semidirect
5. #2684	C₂	semidirect
6. #2679	C₂	semidirect
7. #2670	C₂	semidirect
8. #2472	C₂	semidirect
9. #2435	C₂	semidirect
10. #2403	C₂	semidirect
11. #2375	C₂	semidirect
12. C₂⁶	C₂²	semidirect
14. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
16. C₂×#124	C₂²	semidirect
17. C₂×#124	C₂²	semidirect
18. C₂×#124	C₂²	semidirect
19. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×#120	C₂²	semidirect
25. C₂×#120	C₂²	semidirect
26. C₂×#120	C₂²	semidirect
27. C₂×#120	C₂²	semidirect
28. C₂×#120	C₂²	semidirect
29. C₂×#120	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
31. #397	C₂²	semidirect
32. #394	C₂²	semidirect
33. #394	C₂²	semidirect
34. #394	C₂²	semidirect
35. #394	C₂²	semidirect
36. #393	C₂²	semidirect
37. #392	C₂²	semidirect
38. #392	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #388	C₂²	semidirect
43. #388	C₂²	semidirect
44. #386	C₂²	semidirect
45. #386	C₂²	semidirect
46. #386	C₂²	semidirect
47. #379	C₂²	semidirect
48. #379	C₂²	semidirect
49. #379	C₂²	semidirect
50. #379	C₂²	semidirect
51. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
59. C₂⁵	C₂³	semidirect
60. C₂²×Q₈	C₂³	semidirect
72. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
74. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
87. #120	D₄	semidirect
88. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
89. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
101. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
102. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
103. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
104. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
105. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
106. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
107. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
108. #95	C₂³	semidirect
109. #95	C₂³	semidirect
110. #95	C₂³	semidirect
132. C₂⁴	C₂×D₄	semidirect
189. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
285. C₂²	H(3,𝔽₄)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×H(3,𝔽₄)	2
C₂²×#120	2
#2846	2
#2812	2
#2684	2
#2679	2
#2670	2
#2472	2
#2435	2
#2403	2
#2375	2