Subgroups — #45992

Order 256.

1455 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 252 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#560	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2673	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#2669	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#2541	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#2445	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#2433	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#2428	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	C₄×#126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#560	—	2	16	no	—
14	C₂×#127	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#127	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂×#127	C₂²	1	6	yes	complemented
18	C₂×#127	C₂²	1	3	yes	complemented
19	C₂×#126	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#123	C₂²	1	6	yes	complemented
22	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	complemented
26	C₂×#120	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#120	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
29	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
30	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
31	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
32	#392	C₂²	1	6	yes	—
33	#392	C₂²	1	6	yes	—
34	#392	C₂²	1	6	yes	—
35	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#390	C₂²	1	3	yes	—
38	#390	C₂²	1	3	yes	—
39	#390	C₂²	1	3	yes	complemented
40	#389	C₂²	1	3	yes	complemented
41	#388	C₂²	1	3	yes	—
42	#388	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#387	C₂²	1	3	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	6	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	6	yes	complemented
46	#383	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
48	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
49	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
52	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
53	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
65	#127	—	2	8	no	—
66	#127	—	4	6	no	—
67	#127	—	4	6	no	—
68	#127	—	4	6	no	—
69	#127	—	4	12	no	—
70	#126	—	2	8	no	—
71	#126	D₄	1	8	yes	complemented
72	#123	—	2	24	no	—
73	#121	—	2	24	no	—
74	#121	—	2	24	no	—
75	#121	—	4	12	no	—
76	#121	—	4	6	no	—
77	#120	—	2	24	no	—
78	#120	—	4	12	no	—
79	C₄×D₄	—	4	6	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
97	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#95	C₂³	1	3	yes	—
99	#95	C₂³	1	3	yes	—
100	#95	C₂³	1	3	yes	—
101	#95	C₂³	1	3	yes	—
102	#95	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂⁴	—	2	4	no	—
104	C₂⁴	—	4	6	no	—
105	C₂⁴	—	4	6	no	—
106	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
107	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
108	C₂⁴	C₂⁴	1	6	yes	—
109	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂×D₄	—	2	12	no	—
111	C₂×D₄	—	2	12	no	—
112	C₂×D₄	—	2	12	no	—
113	C₂×D₄	—	2	12	no	—
114	C₂×D₄	—	2	6	no	—
115	C₂×D₄	—	2	6	no	—
116	C₂×D₄	—	2	6	no	—
117	C₂×D₄	—	2	6	no	—
118	C₂×D₄	—	2	6	no	—
119	C₂×D₄	—	2	12	no	—
120	C₂×D₄	—	2	12	no	—
121	C₂×D₄	—	4	6	no	—
122	C₂×D₄	—	4	6	no	—
123	C₂×D₄	—	4	6	no	—
124	C₂×D₄	—	4	6	no	—
125	C₂×D₄	—	4	6	no	—
126	C₂×D₄	—	4	6	no	—
127	C₂×D₄	—	4	6	no	—
128	C₂×D₄	—	4	6	no	—
129	C₂×D₄	—	4	6	no	—
130	C₂×D₄	—	4	6	no	—
131	C₂×D₄	—	4	6	no	—
132	C₂×D₄	—	4	6	no	—
133	C₂×D₄	—	4	6	no	—
134	C₂×D₄	—	4	6	no	—
135	C₂×D₄	—	4	6	no	—
136	C₂×D₄	—	4	6	no	—
137	C₂×D₄	—	4	16	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
152	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
153	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
162	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
163	C₄²	—	2	6	no	—
164	C₄²	—	2	6	no	—
165	C₄²	—	2	6	no	—
166	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
167	C₂³	—	2	3	no	—
168	C₂³	—	2	3	no	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	—	2	2	no	—
171	C₂³	—	2	6	no	—
172	C₂³	—	2	6	no	—
173	C₂³	—	2	6	no	—
174	C₂³	—	2	6	no	—
175	C₂³	—	2	6	no	—
176	C₂³	—	2	6	no	—
177	C₂³	—	2	6	no	—
178	C₂³	—	2	6	no	—
179	C₂³	—	2	6	no	—
180	C₂³	—	2	6	no	—
181	C₂³	—	2	6	no	—
182	C₂³	—	4	8	no	—
183	C₂³	—	8	12	no	—
184	C₂³	—	8	12	no	—
185	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
186	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
187	D₄	—	4	8	no	—
188	D₄	—	4	12	no	—
189	D₄	—	4	4	no	—
190	D₄	—	4	4	no	—
191	D₄	—	8	12	no	—
192	D₄	—	8	12	no	—
193	D₄	—	8	12	no	—
194	D₄	—	8	12	no	—
195	D₄	—	8	12	no	—
196	D₄	—	8	12	no	—
197	D₄	—	8	12	no	—
198	C₂×C₄	—	2	3	no	—
199	C₂×C₄	—	2	3	no	—
200	C₂×C₄	—	2	3	no	—
201	C₂×C₄	—	2	3	no	—
202	C₂×C₄	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄	—	2	3	no	—
206	C₂×C₄	—	2	6	no	—
207	C₂×C₄	—	2	3	no	—
208	C₂×C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₄	—	2	3	no	—
210	C₂×C₄	—	2	3	no	—
211	C₂×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂×C₄	—	8	12	no	—
213	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
215	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
216	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
217	C₂²	—	2	6	no	—
218	C₂²	—	4	1	no	—
219	C₂²	—	4	3	no	—
220	C₂²	—	4	6	no	—
221	C₂²	—	4	6	no	—
222	C₂²	—	4	6	no	—
223	C₂²	—	4	6	no	—
224	C₂²	—	4	6	no	—
225	C₂²	—	4	2	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	4	6	no	—
228	C₂²	—	4	6	no	—
229	C₂²	—	4	6	no	—
230	C₂²	—	4	6	no	—
231	C₂²	—	4	6	no	—
232	C₂²	—	4	6	no	—
233	C₂²	—	8	16	no	—
234	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
236	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
237	C₄	—	2	6	no	—
238	C₄	—	2	6	no	—
239	C₄	—	2	6	no	—
240	C₄	—	4	6	no	—
241	C₄	—	4	1	no	—
242	C₄	—	4	3	no	—
243	C₄	#560	1	4	yes	complemented
244	C₂	—	4	2	no	—
245	C₂	—	8	6	no	—
246	C₂	—	8	2	no	—
247	C₂	—	8	2	no	—
248	C₂	#3498	1	3	yes	—
249	C₂	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#3543	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#560	C₂	semidirect
2. #2867	C₂	semidirect
3. #2860	C₂	semidirect
4. #2818	C₂	semidirect
5. #2673	C₂	semidirect
6. #2669	C₂	semidirect
7. #2541	C₂	semidirect
8. #2445	C₂	semidirect
9. #2433	C₂	semidirect
10. #2428	C₂	semidirect
11. C₄×#126	C₂	semidirect
16. C₂×#127	C₂²	semidirect
17. C₂×#127	C₂²	semidirect
18. C₂×#127	C₂²	semidirect
20. C₂×#126	C₂²	semidirect
21. C₂×#123	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
25. C₂×#121	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
29. #394	C₂²	semidirect
30. #394	C₂²	semidirect
31. #394	C₂²	semidirect
35. #392	C₂²	semidirect
36. #392	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
40. #389	C₂²	semidirect
42. #388	C₂²	semidirect
43. #387	C₂²	semidirect
44. #386	C₂²	semidirect
45. #386	C₂²	semidirect
46. #383	C₂²	semidirect
47. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
49. C₄³	C₂²	semidirect
71. #126	D₄	semidirect
152. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
166. C₄²	C₂×D₄	semidirect
243. C₄	#560	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#560	2
#2867	2
#2860	2
#2818	2
#2673	2
#2669	2
#2541	2
#2445	2
#2433	2
#2428	2
C₄×#126	2