Subgroups — #45996

Order 256.

1446 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2819	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2679	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2670	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2548	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2491	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2433	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
13	H(3,𝔽₄)	—	2	16	no	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
15	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#124	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#393	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#392	C₂²	1	4	yes	—
34	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
49	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
50	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
51	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
56	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
67	#127	—	4	4	no	—
68	#127	—	4	4	no	—
69	#124	—	2	16	no	—
70	#124	—	2	32	no	—
71	#124	—	2	16	no	—
72	#124	—	4	8	no	—
73	#124	D₄	1	8	yes	complemented
74	#121	—	4	8	no	—
75	#120	—	2	16	no	—
76	#120	—	2	32	no	—
77	#120	—	4	16	no	—
78	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
79	C₄×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#95	C₂³	1	4	yes	—
104	#95	C₂³	1	4	yes	—
105	#95	C₂³	1	4	yes	—
106	#95	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂⁴	—	2	8	no	—
108	C₂⁴	—	4	4	no	—
109	C₂⁴	—	4	8	no	—
110	C₂⁴	—	4	8	no	—
111	C₂⁴	—	4	4	no	—
112	C₂⁴	C₂⁴	1	8	yes	—
113	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
114	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
115	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
116	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
117	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
119	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
120	C₂×D₄	—	2	16	no	—
121	C₂×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂×D₄	—	4	1	no	—
128	C₂×D₄	—	4	8	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	—	4	1	no	—
131	C₂×D₄	—	4	8	no	—
132	C₂×D₄	—	4	8	no	—
133	C₂×D₄	—	4	8	no	—
134	C₂×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂×D₄	—	4	4	no	—
137	C₂×D₄	—	4	4	no	—
138	C₂×D₄	—	4	4	no	—
139	C₂×D₄	—	4	4	no	—
140	C₂×D₄	—	4	4	no	—
141	C₂×D₄	—	4	32	no	—
142	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
156	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
157	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
170	C₄²	—	2	8	no	—
171	C₄²	—	2	2	no	—
172	C₄²	—	2	4	no	—
173	C₄²	—	2	4	no	—
174	C₄²	—	2	4	no	—
175	C₄²	—	4	1	no	—
176	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	8	no	—
182	C₂³	—	2	8	no	—
183	C₂³	—	2	8	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	2	8	no	—
186	C₂³	—	2	8	no	—
187	C₂³	—	2	8	no	—
188	C₂³	—	4	16	no	—
189	C₂³	—	8	8	no	—
190	C₂³	—	8	16	no	—
191	C₂³	—	8	8	no	—
192	C₂³	—	8	16	no	—
193	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
194	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
195	Q₈	—	4	4	no	—
196	Q₈	—	8	8	no	—
197	D₄	—	4	4	no	—
198	D₄	—	4	16	no	—
199	D₄	—	4	16	no	—
200	D₄	—	8	8	no	—
201	D₄	—	8	8	no	—
202	D₄	—	8	8	no	—
203	D₄	—	8	16	no	—
204	D₄	—	8	8	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
224	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
227	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	2	8	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	—	4	2	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	—	4	8	no	—
235	C₂²	—	4	8	no	—
236	C₂²	—	4	8	no	—
237	C₂²	—	4	8	no	—
238	C₂²	—	4	8	no	—
239	C₂²	—	4	8	no	—
240	C₂²	—	4	8	no	—
241	C₂²	—	8	32	no	—
242	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
245	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
247	C₄	—	2	2	no	—
248	C₄	—	2	4	no	—
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	—	2	4	no	—
251	C₄	—	4	8	no	—
252	C₄	—	4	2	no	—
253	C₄	—	4	1	no	—
254	C₄	—	4	2	no	—
255	C₄	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	complemented
256	C₂	—	4	4	no	—
257	C₂	—	8	8	no	—
258	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#3498	1	2	yes	—
260	C₂	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
261	C₂	#3549	1	1	yes	characteristic
262	C₂	#3558	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	semidirect
2. #2858	C₂	semidirect
3. #2819	C₂	semidirect
4. #2733	C₂	semidirect
5. #2679	C₂	semidirect
6. #2670	C₂	semidirect
7. #2548	C₂	semidirect
8. #2491	C₂	semidirect
9. #2433	C₂	semidirect
10. #2408	C₂	semidirect
11. C₄×#124	C₂	semidirect
12. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
14. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂×#124	C₂²	semidirect
19. C₂×#124	C₂²	semidirect
20. C₂×#124	C₂²	semidirect
21. C₂×#124	C₂²	semidirect
24. C₂×#120	C₂²	semidirect
25. C₂×#120	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
28. #394	C₂²	semidirect
29. #394	C₂²	semidirect
30. #394	C₂²	semidirect
31. #394	C₂²	semidirect
32. #393	C₂²	semidirect
34. #392	C₂²	semidirect
35. #392	C₂²	semidirect
36. #391	C₂²	semidirect
38. #390	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
43. #390	C₂²	semidirect
44. #388	C₂²	semidirect
45. #388	C₂²	semidirect
46. #382	C₂²	semidirect
47. #380	C₂²	semidirect
48. #379	C₂²	semidirect
49. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
51. C₄³	C₂²	semidirect
73. #124	D₄	semidirect
119. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
169. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
176. C₄²	C₂×D₄	semidirect
255. C₄	H(3,𝔽₄)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×H(3,𝔽₄)	2
#2858	2
#2819	2
#2733	2
#2679	2
#2670	2
#2548	2
#2491	2
#2433	2
#2408	2
C₄×#124	2