Subgroups — #472514

Order 512.

1256 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#15125	C₂	1	2	yes	maximal
2	#11384	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#11256	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#11096	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10721	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#393	—	2	2	no	—
12	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
20	#1446	—	2	2	no	—
21	#1442	—	2	2	no	—
22	#1439	—	2	2	no	—
23	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
24	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
26	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
28	C₂³×C₈	—	4	1	no	—
29	C₂³×C₈	—	4	1	no	—
30	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
31	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#107	—	4	2	no	—
45	C₂×#107	—	4	4	no	—
46	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
47	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
49	#393	—	4	8	no	—
50	#380	—	2	8	no	—
51	#380	—	4	4	no	—
52	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
53	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
54	C₂×#95	—	2	4	no	—
55	C₂×#95	—	2	2	no	—
56	C₂×#95	—	2	2	no	—
57	C₂×#95	—	2	4	no	—
58	C₂×#95	—	2	4	no	—
59	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
60	#340	—	2	8	no	—
61	#340	—	4	2	no	—
62	#340	—	4	2	no	—
63	#340	—	4	4	no	—
64	#340	—	4	2	no	—
65	#336	—	4	4	no	—
66	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
68	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
69	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
70	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
71	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
72	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
73	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
74	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
98	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	#107	—	4	8	no	—
131	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
132	#95	—	4	2	no	—
133	#95	—	4	8	no	—
134	#95	—	4	4	no	—
135	#95	—	4	8	no	—
136	#95	—	4	4	no	—
137	#95	—	8	4	no	—
138	C₂⁴	—	2	1	no	—
139	C₂⁴	—	2	1	no	—
140	C₂⁴	—	2	4	no	—
141	C₂⁴	—	2	1	no	—
142	C₂⁴	—	2	1	no	—
143	C₂⁴	—	2	4	no	—
144	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
145	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
146	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
147	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
149	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
150	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
151	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
152	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	8	no	—
207	C₂×C₈	—	4	16	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
225	C₄²	—	4	4	no	—
226	C₄²	—	4	2	no	—
227	C₄²	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	2	8	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	4	no	—
243	C₂³	—	4	4	no	—
244	C₂³	#500	1	4	yes	—
245	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	#534	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	#546	1	4	yes	—
249	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	#575	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	#575	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	#577	1	4	yes	—
254	Q₈	—	8	32	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#538	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
301	C₈	—	4	4	no	—
302	C₈	—	4	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	8	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	#2549	1	2	yes	—
313	C₂²	#2659	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#2684	1	2	yes	—
315	C₂²	#2712	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂×#500	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#3162	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#3163	1	2	yes	—
319	C₂²	#3186	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#3189	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#3200	1	2	yes	—
322	C₂²	#3245	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#3249	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#3263	1	2	yes	—
325	C₂²	#3294	1	4	yes	—
326	C₂²	#3299	1	4	yes	—
327	C₂²	#3311	1	4	yes	—
328	C₂²	#3321	1	4	yes	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	8	8	no	—
333	C₄	—	16	4	no	—
334	C₄	#2607	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2665	1	2	yes	—
336	C₄	#2763	1	2	yes	—
337	C₄	#2804	1	2	yes	—
338	C₄	#2840	1	1	yes	characteristic
339	C₂	—	4	4	no	—
340	C₂	#16823	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#28769	1	2	yes	—
342	C₂	#28779	1	2	yes	—
343	C₂	#30291	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#30302	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#31260	1	2	yes	—
346	C₂	#31263	1	2	yes	—
347	C₂	#32110	1	2	yes	—
348	C₂	#32114	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #11384	C₂	semidirect
3. #11256	C₂	semidirect
30. C₂³×C₈	Q₈	semidirect
48. C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#15125	2
#11384	2
#11256	2
#11096	2
#10721	2
#10714	2