Subgroups — #472528

Order 512.

844 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23472	C₂	1	2	yes	maximal
2	#11393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#11389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11273	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11259	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10783	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#3458	C₂²	1	2	yes	—
11	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2031	—	2	8	no	—
19	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
22	#1740	C₂²	1	2	yes	—
23	#1735	C₂²	1	2	yes	—
24	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1733	C₂²	1	2	yes	—
26	#1733	C₂²	1	2	yes	—
27	#1733	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1729	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#544	—	2	4	no	—
38	#544	—	4	2	no	—
39	#544	—	4	2	no	—
40	#543	—	4	2	no	—
41	#533	—	2	4	no	—
42	#533	—	2	4	no	—
43	#533	—	4	2	no	—
44	#520	—	4	2	no	—
45	#519	Q₈	1	2	yes	complemented
46	#518	—	4	1	no	—
47	#518	Q₈	1	2	yes	complemented
48	C₄×#41	—	4	2	no	—
49	C₂×#117	—	4	1	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	#430	—	4	2	no	—
55	C₂×#108	—	4	2	no	—
56	C₂×#108	—	4	1	no	—
57	C₂×#108	—	4	1	no	—
58	#421	—	2	4	no	—
59	#421	—	2	4	no	—
60	#421	—	4	2	no	—
61	#421	—	4	2	no	—
62	C₂×#104	—	2	4	no	—
63	C₂×#104	—	2	4	no	—
64	#410	—	4	1	no	—
65	#410	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×#99	—	4	1	no	—
67	#408	—	4	1	no	—
68	#408	Q₈	1	4	yes	complemented
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
70	#344	—	2	4	no	—
71	#344	—	2	4	no	—
72	#344	—	4	2	no	—
73	#342	—	4	2	no	—
74	#340	—	4	2	no	—
75	#340	—	4	1	no	—
76	#339	—	2	4	no	—
77	#339	—	4	2	no	—
78	#339	—	4	2	no	—
79	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
80	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
81	H(3,ℤ/4)	—	4	1	no	—
82	#336	—	2	4	no	—
83	C₂×#41	—	2	1	no	—
84	C₂×#41	—	2	1	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
93	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
123	#125	—	4	4	no	—
124	#125	—	4	4	no	—
125	#125	—	4	4	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
129	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
131	C₄×D₄	—	4	4	no	—
132	C₄×D₄	—	4	8	no	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	—	2	2	no	—
144	#117	—	2	2	no	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	#117	—	4	2	no	—
147	#117	—	4	2	no	—
148	#117	—	4	2	no	—
149	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
151	#117	#41	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
167	#108	—	4	4	no	—
168	#108	—	4	4	no	—
169	#104	—	4	8	no	—
170	#104	—	4	8	no	—
171	#99	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	1	no	—
174	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
175	#41	—	2	4	no	—
176	#41	—	2	4	no	—
177	#41	—	2	4	no	—
178	#41	—	2	4	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	#41	—	4	2	no	—
181	#41	—	4	2	no	—
182	#41	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
187	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	1	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
218	M₁₆	—	2	4	no	—
219	M₁₆	—	4	2	no	—
220	M₁₆	—	4	2	no	—
221	M₁₆	—	4	2	no	—
222	M₁₆	—	4	2	no	—
223	M₁₆	—	4	2	no	—
224	M₁₆	—	4	2	no	—
225	M₁₆	—	4	2	no	—
226	M₁₆	—	4	2	no	—
227	M₁₆	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	1	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	4	1	no	—
274	C₂³	—	4	1	no	—
275	C₂³	—	8	1	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	#534	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	#543	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#551	1	2	yes	—
281	C₂³	H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
282	Q₈	—	2	4	no	—
283	Q₈	—	4	2	no	—
284	Q₈	—	16	8	no	—
285	D₄	—	2	4	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	16	2	no	—
302	C₂×C₄	—	16	2	no	—
303	C₂×C₄	—	16	2	no	—
304	C₂×C₄	—	16	4	no	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
323	C₈	—	4	2	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	—	8	2	no	—
326	C₈	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	1	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	16	1	no	—
336	C₂²	#2607	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2659	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2684	1	2	yes	—
339	C₂²	#2763	1	2	yes	—
340	C₂²	#2840	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	8	4	no	—
343	C₄	—	8	4	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	#2549	1	2	yes	—
347	C₄	#2665	1	2	yes	—
348	C₄	#2712	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2712	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#2804	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#2804	1	1	yes	characteristic
352	C₂	—	2	2	no	—
353	C₂	—	2	1	no	—
354	C₂	—	2	1	no	—
355	C₂	—	2	1	no	—
356	C₂	—	2	2	no	—
357	C₂	—	8	2	no	—
358	C₂	#16823	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2712
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#16823
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #11393	C₂	semidirect
3. #11389	C₂	semidirect
4. #11273	C₂	semidirect
5. #11259	C₂	semidirect
45. #519	Q₈	semidirect
47. #518	Q₈	semidirect
68. #408	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23472	2
#11393	2
#11389	2
#11273	2
#11259	2
#11112	2
#11108	2
#10783	2
#10752	2