Subgroups — #472561

Order 512.

751 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23622	C₂	1	2	yes	maximal
2	#11368	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#11343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11248	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11235	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11090	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2070	—	2	4	no	—
20	#2069	—	2	4	no	—
21	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
24	#1742	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1729	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#131	—	4	2	no	—
35	C₂×#131	—	4	1	no	—
36	C₂×#131	—	4	1	no	—
37	C₂×#131	—	4	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	Q₈	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	Q₈	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
48	#430	—	2	4	no	—
49	#430	—	2	4	no	—
50	#430	—	2	4	no	—
51	#430	—	2	4	no	—
52	#430	—	4	2	no	—
53	#430	—	4	2	no	—
54	C₂×#108	—	2	4	no	—
55	C₂×#108	—	4	2	no	—
56	C₂×#108	—	4	2	no	—
57	#424	—	2	4	no	—
58	#424	—	4	2	no	—
59	#423	—	4	2	no	—
60	#413	—	2	4	no	—
61	#413	—	2	4	no	—
62	#413	—	4	1	no	—
63	#413	—	4	1	no	—
64	#413	—	4	2	no	—
65	#413	—	4	2	no	—
66	C₂×#101	—	2	2	no	—
67	C₂×#101	—	2	2	no	—
68	C₂×#101	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×#100	—	2	2	no	—
70	C₂×#100	—	2	2	no	—
71	C₂×#100	D₄	1	2	yes	—
72	#410	—	4	1	no	—
73	#410	—	4	1	no	—
74	C₂×#99	Q₈	1	4	yes	—
75	#344	—	4	2	no	—
76	#344	—	4	2	no	—
77	#344	—	4	2	no	—
78	#343	—	2	4	no	—
79	#341	—	4	1	no	—
80	#341	—	4	2	no	—
81	#341	—	4	1	no	—
82	#338	—	2	4	no	—
83	#338	—	4	1	no	—
84	#338	—	4	2	no	—
85	#338	—	4	1	no	—
86	#336	—	4	2	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	1	no	—
90	C₂×#41	—	2	1	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	1	no	—
94	C₂×#41	—	2	1	no	—
95	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	#131	—	4	8	no	—
101	#131	—	4	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	#108	—	4	8	no	—
162	#108	—	4	8	no	—
163	#108	—	4	8	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
165	#101	—	4	2	no	—
166	#101	—	4	4	no	—
167	#101	—	4	4	no	—
168	#100	—	4	2	no	—
169	#100	—	4	4	no	—
170	#100	—	4	4	no	—
171	#99	—	4	4	no	—
172	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
174	#41	—	4	2	no	—
175	#41	—	4	2	no	—
176	#41	—	4	2	no	—
177	#41	—	4	2	no	—
178	#41	—	4	2	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	#41	—	4	2	no	—
181	#41	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	1	no	—
191	C₂×D₄	—	2	1	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
212	M₁₆	—	2	4	no	—
213	M₁₆	—	2	4	no	—
214	M₁₆	—	2	4	no	—
215	M₁₆	—	2	4	no	—
216	M₁₆	—	2	4	no	—
217	M₁₆	—	2	4	no	—
218	M₁₆	—	4	8	no	—
219	M₁₆	—	4	2	no	—
220	M₁₆	—	4	2	no	—
221	M₁₆	—	4	2	no	—
222	M₁₆	—	4	2	no	—
223	M₁₆	—	4	2	no	—
224	M₁₆	—	4	2	no	—
225	M₁₆	—	4	2	no	—
226	M₁₆	—	4	2	no	—
227	M₁₆	—	4	2	no	—
228	M₁₆	—	4	2	no	—
229	M₁₆	—	4	2	no	—
230	M₁₆	—	4	2	no	—
231	M₁₆	—	4	2	no	—
232	M₁₆	—	4	2	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	8	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	8	1	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#543	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	#554	1	2	yes	—
277	C₂³	#554	1	2	yes	—
278	Q₈	—	4	2	no	—
279	Q₈	—	4	2	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	4	4	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
311	C₈	—	4	1	no	—
312	C₈	—	4	1	no	—
313	C₈	—	4	2	no	—
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	8	2	no	—
318	C₈	—	8	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	1	no	—
321	C₂²	—	4	1	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	#2549	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2549	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2659	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2780	1	2	yes	—
332	C₂²	#2790	1	2	yes	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	8	4	no	—
335	C₄	#2608	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2665	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#2667	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#2688	1	2	yes	—
339	C₄	#2691	1	2	yes	—
340	C₄	#2842	1	1	yes	characteristic
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	2	1	no	—
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	8	2	no	—
347	C₂	#16825	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2665
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#16825
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #11368	C₂	semidirect
3. #11343	C₂	semidirect
4. #11248	C₂	semidirect
5. #11235	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23622	2
#11368	2
#11343	2
#11248	2
#11235	2
#11090	2
#10764	2
#10760	2