Subgroups — #474282

Order 512.

816 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#11306	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11080	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11018	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#575	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
18	#2879	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2102	—	2	4	no	—
22	#2050	—	2	4	no	—
23	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
25	#1738	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1729	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	#575	—	2	2	no	—
35	#575	—	4	1	no	—
36	#575	—	4	2	no	—
37	C₂×#137	—	2	2	no	—
38	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	4	1	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#430	—	2	2	no	—
49	#430	—	4	1	no	—
50	C₂×#108	—	4	1	no	—
51	#423	—	2	2	no	—
52	#423	—	4	1	no	—
53	#423	—	4	1	no	—
54	#423	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
57	#421	—	4	2	no	—
58	#421	—	4	2	no	—
59	C₂×#104	—	2	4	no	—
60	C₂×#104	—	2	2	no	—
61	C₂×#104	—	2	2	no	—
62	C₂×#104	—	2	4	no	—
63	C₂×#104	—	4	2	no	—
64	#416	—	2	4	no	—
65	#416	—	4	2	no	—
66	C₂×#103	—	2	2	no	—
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	#413	—	2	4	no	—
69	#413	—	4	2	no	—
70	C₂×#101	—	2	2	no	—
71	C₂×#100	—	2	2	no	—
72	#408	—	2	4	no	—
73	#408	—	4	2	no	—
74	#408	—	4	2	no	—
75	#408	—	4	2	no	—
76	#407	—	4	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
82	#344	—	2	4	no	—
83	#344	—	4	2	no	—
84	#341	—	2	4	no	—
85	#341	—	4	2	no	—
86	#341	—	4	2	no	—
87	#341	—	4	2	no	—
88	#339	—	2	4	no	—
89	#338	—	2	2	no	—
90	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
91	#336	—	4	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#137	—	4	4	no	—
111	#137	—	4	4	no	—
112	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
113	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
114	#135	—	4	4	no	—
115	#135	—	4	4	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×D₈	—	4	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
171	#108	—	4	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
174	#104	—	4	8	no	—
175	#104	—	4	4	no	—
176	#104	—	4	4	no	—
177	#103	—	4	4	no	—
178	#102	—	4	4	no	—
179	#101	—	4	4	no	—
180	#100	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
183	C₄×C₈	—	4	2	no	—
184	C₄×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
187	#41	—	4	2	no	—
188	#41	—	4	2	no	—
189	#41	—	4	2	no	—
190	#41	—	4	2	no	—
191	#41	—	4	2	no	—
192	#41	—	4	2	no	—
193	#41	—	4	2	no	—
194	#41	—	4	2	no	—
195	#41	—	4	2	no	—
196	#41	—	4	2	no	—
197	#41	—	4	2	no	—
198	#41	—	4	2	no	—
199	#41	—	4	2	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	#41	—	4	2	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	Q₁₆	—	4	4	no	—
245	SD₁₆	—	4	8	no	—
246	D₈	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	2	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	#124	1	2	yes	—
296	C₄²	#124	1	2	yes	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	#539	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#539	1	2	yes	—
305	C₂³	#539	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	#542	1	2	yes	—
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	4	2	no	—
310	Q₈	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#538	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#538	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#560	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	4	no	—
355	C₈	—	8	2	no	—
356	C₈	—	8	2	no	—
357	C₈	—	8	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	16	2	no	—
367	C₂²	#2639	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2649	1	2	yes	—
369	C₂²	#2705	1	2	yes	—
370	C₂²	#2782	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2795	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	—	16	2	no	—
376	C₄	#2490	1	2	yes	—
377	C₄	#2572	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2697	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2733	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2778	1	2	yes	—
381	C₄	#2828	1	1	yes	characteristic
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	2	2	no	—
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	16	2	no	—
387	C₂	#16932	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#32702	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2782
prime radical	C₂×#575	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2102	C₂	semidirect
3. #11306	C₂	semidirect
4. #11177	C₂	semidirect
5. #11137	C₂	semidirect
6. #11080	C₂	semidirect
8. #10929	C₂	semidirect
9. #10844	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2102	2
C₂×#2050	2
#11306	2
#11177	2
#11137	2
#11080	2
#11018	2
#10929	2
#10844	2