Subgroups — #474625

Order 512.

740 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#11387	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11340	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11333	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11283	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11225	C₂	1	2	yes	maximal
8	#11214	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2911	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2317	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1992	—	2	2	no	—
19	#1990	—	2	2	no	—
20	#1946	—	2	2	no	—
21	#1945	—	2	2	no	—
22	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
25	#1740	C₂²	1	2	yes	—
26	#1736	C₂²	1	2	yes	—
27	#1736	C₂²	1	2	yes	—
28	#1736	C₂²	1	2	yes	—
29	#1733	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#533	—	2	2	no	—
40	#533	—	4	1	no	—
41	#533	—	4	1	no	—
42	#533	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×#125	—	2	1	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	4	1	no	—
47	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#430	—	4	1	no	—
54	#430	—	4	1	no	—
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	#428	—	2	2	no	—
57	#428	—	2	2	no	—
58	#428	—	4	2	no	—
59	#428	—	4	2	no	—
60	#427	—	2	2	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	#424	—	2	4	no	—
64	#424	—	4	2	no	—
65	#423	—	4	2	no	—
66	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
67	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
68	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
70	#389	—	4	2	no	—
71	#385	—	4	2	no	—
72	#384	—	2	2	no	—
73	#384	—	2	1	no	—
74	#384	—	2	1	no	—
75	#384	—	4	1	no	—
76	#382	—	2	2	no	—
77	#344	—	4	2	no	—
78	#344	Q₈	1	8	yes	complemented
79	#343	—	4	2	no	—
80	#342	—	4	2	no	—
81	#340	—	2	4	no	—
82	#340	—	2	4	no	—
83	#340	—	4	2	no	—
84	#339	—	2	2	no	—
85	#339	—	2	2	no	—
86	#339	—	2	4	no	—
87	#339	—	4	2	no	—
88	#338	—	4	1	no	—
89	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
90	H(3,ℤ/4)	—	4	1	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
121	#125	—	2	4	no	—
122	#125	—	4	2	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
125	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
126	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	—	2	2	no	—
130	#117	—	2	2	no	—
131	#117	—	2	2	no	—
132	#117	—	2	2	no	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
168	#108	—	4	4	no	—
169	#107	—	2	2	no	—
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	4	4	no	—
172	#106	—	2	4	no	—
173	#106	—	4	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
175	#97	—	4	2	no	—
176	C₄×C₈	—	4	2	no	—
177	#95	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
179	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
206	M₁₆	—	2	4	no	—
207	M₁₆	—	2	4	no	—
208	M₁₆	—	2	4	no	—
209	M₁₆	—	2	4	no	—
210	M₁₆	—	4	2	no	—
211	M₁₆	—	4	2	no	—
212	M₁₆	—	4	2	no	—
213	M₁₆	—	4	2	no	—
214	M₁₆	—	4	2	no	—
215	M₁₆	—	4	2	no	—
216	M₁₆	—	4	2	no	—
217	M₁₆	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
265	C₂³	—	4	1	no	—
266	C₂³	—	4	1	no	—
267	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	#538	1	2	yes	—
269	C₂³	#538	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#543	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#544	1	2	yes	—
272	Q₈	—	8	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	4	1	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	16	2	no	—
295	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#538	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#562	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#562	1	2	yes	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	4	2	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	—	8	2	no	—
317	C₂²	—	2	1	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	4	1	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	#2626	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2631	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2660	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2788	1	2	yes	—
328	C₂²	#2806	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	8	4	no	—
332	C₄	—	8	4	no	—
333	C₄	—	8	2	no	—
334	C₄	—	8	2	no	—
335	C₄	—	16	2	no	—
336	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#2581	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#2583	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#2788	1	2	yes	—
340	C₄	#2806	1	2	yes	—
341	C₄	#2816	1	1	yes	characteristic
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	2	no	—
344	C₂	—	2	1	no	—
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	#16989	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#30057	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#30058	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2631
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
78. #344	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21322	2
#21165	2
#11387	2
#11340	2
#11333	2
#11283	2
#11225	2
#11214	2
#10805	2