Subgroups — #475759

Order 512.

1380 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2052	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2020	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23429	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11106	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10865	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
22	#2052	—	2	16	no	—
23	#2020	—	2	8	no	—
24	#2016	—	2	2	no	—
25	#2015	—	2	4	no	—
26	#2014	—	2	2	no	—
27	#1971	—	2	4	no	—
28	#1955	—	2	4	no	—
29	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1728	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#137	—	2	8	no	—
35	C₂×#137	—	2	8	no	—
36	C₂×#137	—	4	4	no	—
37	C₂×#137	—	4	4	no	—
38	C₂×#137	—	4	4	no	—
39	C₂×#137	—	4	4	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
44	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
45	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
46	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#532	—	4	2	no	—
52	#532	—	4	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#108	—	4	2	no	—
61	C₂×#108	—	4	2	no	—
62	C₂×#108	D₄	1	8	yes	complemented
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	—	4	2	no	—
65	#423	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	#417	—	2	8	no	—
68	#417	—	4	4	no	—
69	C₂×#103	—	2	4	no	—
70	C₂×#103	—	2	8	no	—
71	C₂×#103	—	2	4	no	—
72	C₂×#102	—	2	4	no	—
73	C₂×#101	—	2	8	no	—
74	C₂×#101	—	2	8	no	—
75	C₂×#101	—	4	4	no	—
76	#408	—	2	8	no	—
77	#408	—	2	4	no	—
78	#408	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×#97	—	4	2	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
83	#391	—	2	4	no	—
84	#391	—	2	2	no	—
85	#391	—	2	2	no	—
86	C₂×#95	—	2	4	no	—
87	#343	—	2	8	no	—
88	#341	—	2	4	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	#137	—	4	16	no	—
119	#137	—	4	16	no	—
120	#137	—	4	16	no	—
121	#137	—	4	16	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
156	#127	—	4	2	no	—
157	#124	—	4	4	no	—
158	#121	—	4	8	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	#108	—	4	8	no	—
173	#106	—	4	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
175	#103	—	4	8	no	—
176	#103	—	4	8	no	—
177	#102	—	4	8	no	—
178	#101	—	4	16	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
181	#97	—	4	4	no	—
182	#95	—	4	4	no	—
183	#95	—	4	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	2	no	—
185	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	4	4	no	—
187	#41	—	4	4	no	—
188	#41	—	4	4	no	—
189	#41	—	4	4	no	—
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	8	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
243	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
255	Q₁₆	—	4	16	no	—
256	Q₁₆	—	4	32	no	—
257	SD₁₆	—	4	32	no	—
258	M₁₆	—	2	8	no	—
259	M₁₆	—	2	8	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	#538	1	2	yes	—
296	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	#550	1	2	yes	—
298	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	4	4	no	—
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	Q₈	—	4	4	no	—
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	4	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	16	4	no	—
332	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#562	1	2	yes	—
350	C₈	—	2	4	no	—
351	C₈	—	2	4	no	—
352	C₈	—	4	8	no	—
353	C₈	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2617	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#2682	1	2	yes	—
366	C₂²	#2733	1	2	yes	—
367	C₂²	#3069	1	4	yes	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	—	16	2	no	—
373	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2617	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2656	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2679	1	2	yes	—
377	C₄	#2682	1	2	yes	—
378	C₄	#2819	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	16	2	no	—
382	C₂	#17068	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#28244	1	2	yes	—
384	C₂	#28499	1	2	yes	—
385	C₂	#29752	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2052	C₂	semidirect
2. C₂×#2020	C₂	semidirect
4. C₂×#1971	C₂	semidirect
6. #11106	C₂	semidirect
7. #11045	C₂	semidirect
8. #10865	C₂	semidirect
45. C₂²×Q₁₆	D₄	semidirect
62. C₂×#108	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2052	2
C₂×#2020	2
#23429	2
C₂×#1971	2
#21188	2
#11106	2
#11045	2
#10865	2