Subgroups — C₈×#509 #483500

Order 512.

551 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₈×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#12045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₈×SD₃₂	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×D₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12009	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#11593	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#11592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#509	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₈×#41	—	2	1	no	—
14	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
17	#2177	C₄	1	2	yes	—
18	#2175	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	#2159	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#2140	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#2139	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₈×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₈×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₈×SD₁₆	—	2	1	no	—
29	C₈×SD₁₆	—	2	1	no	—
30	C₈×D₈	—	2	1	no	—
31	C₈×D₈	—	2	1	no	—
32	C₈×D₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₈×D₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₈×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₈×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1476	—	2	1	no	—
39	C₂×D₄⋊C₈	—	2	1	no	—
40	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1372	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#1371	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#1332	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#1331	C₂²	1	2	yes	—
45	#1331	C₂²	1	2	yes	—
46	#1331	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#1311	C₂²	1	2	yes	complemented
48	C₈×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	—	4	1	no	—
52	C₄×#41	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
54	#509	C₈	1	8	yes	direct product factor
55	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
58	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
62	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₄×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
65	C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
66	C₄×D₈	—	2	1	no	—
67	C₄×D₈	—	2	1	no	—
68	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₄×D₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₄×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	C₈×D₄	—	2	1	no	—
75	C₈×D₄	—	2	1	no	—
76	C₈×D₄	—	4	1	no	—
77	C₈×D₄	—	4	1	no	—
78	C₈×D₄	—	4	1	no	—
79	C₈×D₄	—	4	1	no	—
80	#431	—	2	1	no	—
81	#431	—	4	1	no	—
82	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	#416	—	2	1	no	—
86	C₂×#102	—	2	1	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#367	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#366	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#358	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#346	—	2	1	no	—
99	#346	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	#335	—	2	1	no	—
103	#335	C₂³	1	2	yes	—
104	#335	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#335	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#334	—	2	1	no	—
107	Q₈⋊C₈	—	2	1	no	—
108	Q₈⋊C₈	—	2	1	no	—
109	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
110	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
111	D₄⋊C₈	—	2	1	no	—
112	D₄⋊C₈	—	2	1	no	—
113	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₈²	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₈²	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×#41	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
120	#135	—	2	2	no	—
121	#135	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
122	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×D₈	—	2	1	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
127	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
136	C₂²×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
140	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	1	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	1	no	—
146	C₄×D₄	—	4	1	no	—
147	C₄×D₄	—	4	1	no	—
148	C₄×D₄	—	4	1	no	—
149	C₄×D₄	—	4	1	no	—
150	#117	—	2	1	no	—
151	#117	—	4	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	SD₃₂	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
157	D₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
158	M₃₂	—	2	4	no	—
159	M₃₂	—	2	2	no	—
160	M₃₂	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	#107	—	2	1	no	—
165	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	#106	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
175	#103	—	2	1	no	—
176	#103	—	2	1	no	—
177	#102	—	2	2	no	—
178	#102	—	2	1	no	—
179	#102	—	2	2	no	—
180	#102	—	2	1	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	4	1	no	—
188	C₄×C₈	—	4	1	no	—
189	C₄×C₈	—	4	1	no	—
190	C₄×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
191	C₄×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂⁴	—	4	1	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	1	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	1	no	—
208	C₂×D₄	—	4	1	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
221	Q₁₆	—	2	1	no	—
222	Q₁₆	C₂²×C₈	1	2	yes	complemented
223	SD₁₆	—	2	4	no	—
224	D₈	—	2	2	no	—
225	D₈	—	2	1	no	—
226	D₈	—	2	4	no	—
227	D₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
228	D₈	C₂²×C₈	1	2	yes	complemented
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	1	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	1	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	8	2	no	—
239	C₂×C₈	—	8	4	no	—
240	C₂×C₈	—	8	2	no	—
241	C₂×C₈	—	8	2	no	—
242	C₂×C₈	—	8	4	no	—
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	—	4	1	no	—
267	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	#135	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₁₆	—	2	4	no	—
272	C₁₆	—	2	2	no	—
273	C₁₆	C₂²×C₈	1	4	yes	complemented
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	1	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	2	2	no	—
281	Q₈	—	4	1	no	—
282	D₄	—	2	4	no	—
283	D₄	—	2	2	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	2	no	—
287	D₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	1	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	1	no	—
313	C₈	—	2	1	no	—
314	C₈	—	2	1	no	—
315	C₈	—	2	1	no	—
316	C₈	—	2	1	no	—
317	C₈	—	4	1	no	—
318	C₈	—	8	1	no	—
319	C₈	—	8	2	no	—
320	C₈	—	8	1	no	—
321	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
322	C₈	#509	1	2	yes	direct product factor
323	C₈	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
324	C₈	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	8	8	no	—
330	C₂²	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	8	1	no	—
332	C₂²	—	8	1	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	C₈×D₈	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	—	4	2	no	—
340	C₄	—	8	1	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	—	8	1	no	—
343	C₄	C₈×D₈	1	2	yes	—
344	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3414	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	8	2	no	—
350	C₂	—	8	4	no	—
351	C₂	C₂×C₈×D₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₄×#509	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#33463	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂×D₈
commutator	C₈	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₄×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₈
prime radical	C₂×#509	C₄
LCS	G ▷ C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ C₂×C₈² ◁ G
LECS	G ▷ C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₈×#135	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
4. #12045	C₂	semidirect
5. #12043	C₂	semidirect
6. C₈×SD₃₂	C₂	semidirect
7. C₈×D₁₆	C₂	semidirect
8. #12009	C₂	semidirect
9. #11593	C₂	semidirect
10. #11592	C₂	semidirect
11. C₈×M₃₂	C₂	semidirect
26. C₈×Q₁₆	C₂²	semidirect
27. C₈×Q₁₆	C₂²	semidirect
34. C₈×D₈	C₂²	semidirect
35. C₈×D₈	C₂²	semidirect
41. #1372	C₂²	semidirect
42. #1371	C₂²	semidirect
43. #1332	C₂²	semidirect
46. #1331	C₂²	semidirect
47. #1311	C₂²	semidirect
48. C₈×C₁₆	C₂²	semidirect
54. #509	C₈	direct (N × H)
121. #135	C₂×C₈	semidirect
126. C₂×D₈	C₂×C₈	semidirect
156. SD₃₂	C₂×C₈	semidirect
157. D₁₆	C₂×C₈	semidirect
160. M₃₂	C₂×C₈	semidirect
222. Q₁₆	C₂²×C₈	semidirect
228. D₈	C₂²×C₈	semidirect
273. C₁₆	C₂²×C₈	semidirect
322. C₈	#509	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#509	2
C₈×#135	2
C₂×C₈×D₈	2
#12045	2
#12043	2
C₈×SD₃₂	2
C₈×D₁₆	2
#12009	2
#11593	2
#11592	2
C₈×M₃₂	2

Subgroups — C8×#509 #483500

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₈×#509 #483500