Subgroups — #484012

Order 512.

490 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#18066	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	M₁₆×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#12086	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12073	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12073	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12033	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#11671	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#1331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#11408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3169	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2935	—	2	1	no	—
15	D₄×M₁₆	—	2	1	no	—
16	#2232	C₄	1	2	yes	—
17	#2224	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#2224	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#2206	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#2206	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#2184	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	#2162	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1589	C₂²	1	2	yes	—
27	#1589	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#1581	—	2	2	no	—
29	#1581	—	2	2	no	—
30	C₈×D₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₈×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1486	—	2	1	no	—
35	#1480	—	2	1	no	—
36	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1372	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1372	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1331	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1331	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1331	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1331	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1331	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#1331	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#1312	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#1311	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#131	—	4	1	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	4	1	no	—
50	#532	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
55	#500	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	#486	—	2	1	no	—
58	#466	—	2	1	no	—
59	#466	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₄×D₈	—	2	1	no	—
61	C₄×D₈	—	2	1	no	—
62	C₄×D₈	—	2	1	no	—
63	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₄×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×D₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₄×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#436	—	2	2	no	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#435	—	4	2	no	—
71	#435	—	4	2	no	—
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	#431	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#423	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×#102	—	2	1	no	—
79	#408	—	4	1	no	—
80	#407	—	4	1	no	—
81	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#366	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#366	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
93	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₄×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	#335	—	2	1	no	—
97	#335	—	2	1	no	—
98	#335	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#335	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#335	C₂³	1	2	yes	—
101	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
102	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
104	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
105	#322	D₄	1	2	yes	—
106	C₈²	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×#41	—	4	1	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	1	no	—
112	C₂×D₈	—	2	1	no	—
113	C₂×D₈	—	4	1	no	—
114	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	#131	—	8	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
122	C₂×M₁₆	D₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	D₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
129	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
130	#127	—	2	1	no	—
131	#124	—	4	1	no	—
132	#121	—	2	2	no	—
133	#121	—	4	1	no	—
134	C₄×D₄	—	2	1	no	—
135	C₄×D₄	—	2	1	no	—
136	C₄×D₄	—	2	1	no	—
137	C₄×D₄	—	2	1	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	4	1	no	—
140	C₄×D₄	—	4	1	no	—
141	C₄×D₄	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	D₁₆	—	2	4	no	—
146	D₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	#107	—	2	1	no	—
153	#107	—	2	1	no	—
154	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
162	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
163	#102	—	2	1	no	—
164	#102	—	2	1	no	—
165	#102	—	2	2	no	—
166	#102	—	2	1	no	—
167	#102	—	2	1	no	—
168	#102	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
174	#97	D₈	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂⁴	—	4	1	no	—
182	#41	—	8	2	no	—
183	#41	—	8	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
185	C₂×D₄	—	2	1	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	1	no	—
191	C₂×D₄	—	4	1	no	—
192	C₂×D₄	—	4	1	no	—
193	C₂×D₄	—	8	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
205	D₈	—	2	2	no	—
206	D₈	—	2	1	no	—
207	D₈	—	2	1	no	—
208	D₈	—	2	1	no	—
209	D₈	—	2	2	no	—
210	D₈	—	4	2	no	—
211	D₈	—	8	1	no	—
212	D₈	#131	1	2	yes	complemented
213	M₁₆	—	2	2	no	—
214	M₁₆	—	2	2	no	—
215	M₁₆	—	8	4	no	—
216	M₁₆	—	8	4	no	—
217	M₁₆	—	8	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	1	no	—
222	C₂×C₈	—	4	1	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	1	no	—
225	C₂×C₈	—	8	4	no	—
226	C₂×C₈	—	8	4	no	—
227	C₂×C₈	—	8	2	no	—
228	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	#135	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₁₆	—	2	2	no	—
250	C₁₆	—	2	2	no	—
251	C₁₆	—	2	2	no	—
252	C₁₆	—	4	1	no	—
253	C₂³	—	4	1	no	—
254	C₂³	—	4	1	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	—	16	1	no	—
259	C₂³	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	8	2	no	—
261	D₄	—	2	2	no	—
262	D₄	—	4	1	no	—
263	D₄	—	4	2	no	—
264	D₄	—	4	1	no	—
265	D₄	—	4	2	no	—
266	D₄	—	4	1	no	—
267	D₄	—	8	2	no	—
268	D₄	—	8	4	no	—
269	D₄	—	8	2	no	—
270	D₄	—	16	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	—	8	1	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	1	no	—
281	C₂×C₄	—	8	1	no	—
282	C₂×C₄	—	8	1	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
294	C₈	—	2	2	no	—
295	C₈	—	2	2	no	—
296	C₈	—	2	1	no	—
297	C₈	—	2	1	no	—
298	C₈	—	2	1	no	—
299	C₈	—	4	2	no	—
300	C₈	—	8	1	no	—
301	C₈	—	8	2	no	—
302	C₈	—	8	1	no	—
303	C₈	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
304	C₈	#568	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	8	1	no	—
309	C₂²	—	8	1	no	—
310	C₂²	—	8	1	no	—
311	C₂²	—	8	2	no	—
312	C₂²	—	8	1	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	—	8	2	no	—
315	C₂²	—	8	1	no	—
316	C₂²	—	16	4	no	—
317	C₂²	#2177	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	1	no	—
321	C₄	—	2	1	no	—
322	C₄	—	8	1	no	—
323	C₄	—	8	1	no	—
324	C₄	—	8	2	no	—
325	C₄	#2177	1	2	yes	—
326	C₄	#2933	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#2956	1	1	yes	characteristic
328	C₄	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
329	C₄	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
330	C₂	—	2	2	no	—
331	C₂	—	8	2	no	—
332	C₂	—	16	2	no	—
333	C₂	—	16	1	no	—
334	C₂	#17994	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₂×#2177	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#33464	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₈
prime radical	#33660	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×M₁₆ ◁ C₈×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₄×C₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #18066	C₂	semidirect
3. M₁₆×D₈	C₂	semidirect
4. #12086	C₂	semidirect
5. #12073	C₂	semidirect
6. #12073	C₂	semidirect
7. #12045	C₂	semidirect
8. #12033	C₂	semidirect
9. #11671	C₂	semidirect
10. C₂×#1331	C₂	semidirect
11. #11408	C₂	semidirect
27. #1589	C₂²	semidirect
31. C₈×D₈	C₂²	semidirect
37. #1372	C₂²	semidirect
38. #1372	C₂²	semidirect
43. #1331	C₂²	semidirect
44. #1331	C₂²	semidirect
45. #1312	C₂²	semidirect
46. #1311	C₂²	semidirect
212. D₈	#131	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33660	2
#18066	2
M₁₆×D₈	2
#12086	2
#12073	2
#12045	2
#12033	2
#11671	2
C₂×#1331	2
#11408	2