Subgroups — #493048

Order 512.

1214 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 290 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2138	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂²×#346	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#12638	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#12637	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#12556	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
10	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	—	2	4	no	—
12	C₄×#135	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#416	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×#117	—	2	1	no	—
21	#2138	C₄	1	16	yes	complemented
22	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#346	—	2	4	no	—
25	C₂×#346	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#106	—	2	2	no	—
28	#1735	—	2	1	no	—
29	#1380	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂²×#41	—	2	1	no	—
31	C₂×#135	—	2	2	no	—
32	C₂×#135	—	2	4	no	—
33	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂×#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₄×#41	—	2	8	no	—
41	C₄×#41	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
45	C₂×#117	—	2	1	no	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×#117	—	4	1	no	—
48	C₂²×C₄²	—	4	1	no	—
49	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
54	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
55	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
57	C₄×D₈	—	2	4	no	—
58	C₄×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	#427	—	2	2	no	—
60	#427	—	2	4	no	—
61	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#427	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#106	—	2	1	no	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	#416	—	2	8	no	—
68	C₂×#103	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
76	#376	—	4	1	no	—
77	C₄³	—	4	1	no	—
78	#358	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
79	#357	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
80	#346	—	2	8	no	—
81	#340	—	2	4	no	—
82	C₂×#41	—	2	4	no	—
83	C₂×#41	—	2	8	no	—
84	C₂×#41	—	4	2	no	—
85	C₂×#41	—	4	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
89	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
91	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	#135	—	2	8	no	—
94	#135	—	2	16	no	—
95	#135	C₄²	1	16	yes	complemented
96	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
97	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×D₈	—	2	1	no	—
103	C₂×D₈	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
116	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	4	16	no	—
119	C₄×D₄	—	4	4	no	—
120	#117	—	2	4	no	—
121	#117	—	2	8	no	—
122	#117	—	4	2	no	—
123	#117	—	4	4	no	—
124	#117	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	#107	—	2	2	no	—
146	#107	—	2	4	no	—
147	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
148	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	#106	—	2	4	no	—
150	#106	—	2	8	no	—
151	#103	—	2	8	no	—
152	#102	—	2	8	no	—
153	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
154	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#95	—	4	4	no	—
157	C₂⁴	—	4	1	no	—
158	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
159	#41	—	2	16	no	—
160	#41	—	4	8	no	—
161	#41	—	4	16	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	—	4	1	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
180	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	Q₁₆	—	2	2	no	—
190	Q₁₆	—	2	4	no	—
191	Q₁₆	C₂×C₄²	1	4	yes	—
192	SD₁₆	—	2	16	no	—
193	D₈	—	2	2	no	—
194	D₈	—	2	4	no	—
195	D₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
199	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
203	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₄²	—	4	4	no	—
217	C₄²	—	4	8	no	—
218	C₄²	—	4	8	no	—
219	C₄²	—	8	8	no	—
220	C₄²	#102	1	4	yes	—
221	C₄²	#102	1	4	yes	—
222	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
224	C₁₆	—	2	8	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	4	2	no	—
227	C₂³	—	4	4	no	—
228	C₂³	—	8	4	no	—
229	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
230	C₂³	C₄×D₈	1	4	yes	—
231	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
232	Q₈	—	2	4	no	—
233	Q₈	—	4	2	no	—
234	Q₈	—	4	4	no	—
235	D₄	—	2	4	no	—
236	D₄	—	4	16	no	—
237	D₄	—	4	2	no	—
238	D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	16	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂×C₄	—	8	16	no	—
248	C₂×C₄	—	8	8	no	—
249	C₂×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
261	C₈	—	2	4	no	—
262	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₈	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
264	C₈	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
265	C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	8	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	8	4	no	—
270	C₂²	—	8	8	no	—
271	C₂²	C₄×#102	1	4	yes	—
272	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
274	C₂²	#3414	1	4	yes	—
275	C₄	—	2	4	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	4	4	no	—
278	C₄	—	8	4	no	—
279	C₄	—	8	8	no	—
280	C₄	C₄×#102	1	4	yes	—
281	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
283	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
284	C₂	—	2	4	no	—
285	C₂	—	8	4	no	—
286	C₂	C₂×C₄×#102	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#33380	1	2	yes	—
288	C₂	#33451	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₈
commutator	C₈	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×D₈
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂²×#346	C₂	semidirect
4. C₄×#427	C₂	semidirect
5. #12638	C₂	semidirect
6. #12637	C₂	semidirect
7. #12556	C₂	semidirect
12. C₄×#135	C₄	semidirect
21. #2138	C₄	semidirect
52. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
62. #427	C₂×C₄	semidirect
78. #358	C₂×C₄	semidirect
79. #357	C₂×C₄	semidirect
95. #135	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
C₂×#2138	2
C₂²×#346	2
C₄×#427	2
#12638	2
#12637	2
#12556	2