Subgroups — C₂×C₄×#361 #493067

Order 512.

1384 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#361	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#361	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#1387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
9	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
12	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
14	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#102	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#361	C₄	1	16	yes	direct product factor
24	C₂×#361	C₂²	1	8	yes	—
25	C₄×M₃₂	—	2	2	no	—
26	C₄×M₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#346	—	2	1	no	—
28	C₂×C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
29	C₄×#108	—	2	2	no	—
30	C₄×#108	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#341	—	2	1	no	—
32	#1387	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
34	C₂⁴×C₄	—	4	1	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
59	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	4	no	—
63	C₄×D₈	—	2	4	no	—
64	C₄×D₈	—	2	4	no	—
65	C₄×D₈	—	2	4	no	—
66	C₄×D₈	—	2	4	no	—
67	C₄×D₈	—	2	4	no	—
68	C₄×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₄×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#108	—	2	2	no	—
71	C₂×#108	—	2	4	no	—
72	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#107	—	2	1	no	—
75	C₂×#107	—	2	1	no	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
85	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
86	C₂×#97	—	4	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#361	C₂×C₄	1	32	yes	direct product factor
97	#346	—	2	4	no	—
98	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
99	#341	—	2	4	no	—
100	C₂⁵	—	4	1	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
115	C₂³×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	—	2	4	no	—
122	C₂×D₈	—	2	8	no	—
123	C₂×D₈	—	2	8	no	—
124	C₂×D₈	—	2	8	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	2	4	no	—
127	C₂×D₈	C₄²	1	8	yes	—
128	C₂×D₈	C₄²	1	8	yes	—
129	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₄×D₄	—	2	8	no	—
150	C₄×D₄	—	2	8	no	—
151	C₄×D₄	—	4	4	no	—
152	C₄×D₄	—	4	4	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	4	4	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	M₃₂	—	2	8	no	—
176	M₃₂	—	2	4	no	—
177	M₃₂	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
178	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
180	#108	—	2	8	no	—
181	#108	—	2	4	no	—
182	#108	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
183	#107	—	2	2	no	—
184	#107	—	2	2	no	—
185	#107	—	2	2	no	—
186	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
187	#102	—	2	8	no	—
188	#102	—	2	8	no	—
189	#97	—	4	4	no	—
190	C₄×C₈	—	4	4	no	—
191	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂⁴	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	—	4	2	no	—
201	C₂⁴	—	4	2	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	—	8	4	no	—
204	C₂⁴	—	8	4	no	—
205	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
231	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#102	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	D₈	—	2	4	no	—
248	D₈	—	2	8	no	—
249	D₈	—	2	8	no	—
250	D₈	—	2	8	no	—
251	D₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
252	M₁₆	—	2	8	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	8	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₄²	#102	1	2	yes	—
283	C₄²	#102	1	2	yes	—
284	C₄²	#102	1	2	yes	—
285	C₄²	#102	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
290	C₁₆	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	—	8	4	no	—
299	C₂³	—	8	32	no	—
300	C₂³	—	8	4	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	—	8	4	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
307	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	D₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	16	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	16	no	—
326	C₂×C₄	#361	1	4	yes	direct product factor
327	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#102	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	2	2	no	—
346	C₈	—	4	8	no	—
347	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
348	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
349	C₈	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
350	C₈	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
351	C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
352	C₂²	—	2	8	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	8	16	no	—
359	C₂²	—	8	16	no	—
360	C₂²	—	8	16	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	C₄×#102	1	2	yes	—
364	C₂²	C₄×#102	1	2	yes	—
365	C₂²	C₂×#361	1	2	yes	—
366	C₂²	#2148	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	C₄×#102	1	2	yes	—
374	C₄	C₄×#102	1	2	yes	—
375	C₄	C₂×#361	1	4	yes	direct product factor
376	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
379	C₂	—	2	2	no	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	8	8	no	—
382	C₂	C₄×#361	1	4	yes	direct product factor
383	C₂	C₂×C₄×#102	1	1	yes	characteristic
384	C₂	C₂²×#361	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×#2148	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#102
commutator	C₈	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#102
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₄×M₃₂	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
5. C₄×#361	C₂	direct (N × H)
6. C₂×#1387	C₂	semidirect
23. C₂×#361	C₄	direct (N × H)
26. C₄×M₃₂	C₂²	semidirect
30. C₄×#108	C₂²	semidirect
32. #1387	C₂²	semidirect
59. C₂×M₃₂	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
96. #361	C₂×C₄	direct (N × H)
177. M₃₂	C₂²×C₄	semidirect
182. #108	C₂²×C₄	semidirect
326. C₂×C₄	#361	direct (N × H)
375. C₄	C₂×#361	direct (N × H)
382. C₂	C₄×#361	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₈	2
C₂²×#361	2
C₂×C₄×M₃₂	2
C₂×C₄×#108	2
C₄×#361	2
C₂×#1387	2

Subgroups — C2×C4×#361 #493067

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×C₄×#361 #493067