Subgroups — #493140

Order 512.

740 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal
5	#12671	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#12670	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#12561	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#405	—	2	2	no	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2161	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#368	C₂²	1	4	yes	—
16	#2159	C₄	1	8	yes	complemented
17	#2158	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×M₃₂	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	#1772	—	2	2	no	—
22	#1772	—	2	2	no	—
23	#1772	C₂²	1	4	yes	—
24	#1772	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#339	—	2	2	no	—
26	#1382	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
28	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
33	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
34	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#108	—	2	2	no	—
41	C₂×#108	—	2	4	no	—
42	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
44	#427	—	2	2	no	—
45	#427	—	2	2	no	—
46	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#427	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#106	—	2	2	no	—
50	#405	—	2	4	no	—
51	#405	—	2	4	no	—
52	#405	—	4	2	no	—
53	#405	—	4	2	no	—
54	C₂×#97	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#368	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
63	#367	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	#366	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	#346	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	#339	—	2	4	no	—
68	#339	—	2	4	no	—
69	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
70	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
74	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
75	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
76	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	D₈	1	2	yes	—
78	C₂²×C₈	D₈	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈	Q₁₆	1	4	yes	—
80	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
88	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	#117	—	2	4	no	—
91	#117	—	2	4	no	—
92	#117	—	4	2	no	—
93	#117	—	4	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
98	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	M₃₂	—	2	8	no	—
103	M₃₂	C₄²	1	16	yes	—
104	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	#108	—	2	8	no	—
111	#108	—	2	4	no	—
112	#108	C₂²×C₄	1	8	yes	—
113	#107	—	2	4	no	—
114	#107	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	#106	—	2	4	no	—
116	#106	—	2	4	no	—
117	#97	—	4	4	no	—
118	#97	—	4	4	no	—
119	C₄×C₈	—	4	4	no	—
120	C₄×C₈	—	4	4	no	—
121	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	M₁₆	—	2	8	no	—
142	M₁₆	—	4	4	no	—
143	M₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂×C₈	—	4	4	no	—
145	C₂×C₈	—	4	8	no	—
146	C₂×C₈	#107	1	8	yes	—
147	C₂×C₈	#107	1	8	yes	—
148	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
149	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
153	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
156	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
157	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₄²	—	2	1	no	—
173	C₄²	—	2	1	no	—
174	C₄²	—	2	4	no	—
175	C₄²	—	4	4	no	—
176	C₄²	—	4	4	no	—
177	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₁₆	—	2	4	no	—
180	C₁₆	C₂×C₄²	1	8	yes	—
181	C₂³	—	4	2	no	—
182	C₂³	#427	1	2	yes	—
183	C₂³	C₄×D₈	1	2	yes	—
184	C₂³	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
185	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄	—	8	8	no	—
193	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×#107	1	4	yes	—
195	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
199	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
206	C₈	—	4	8	no	—
207	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₈	C₂×#107	1	4	yes	—
209	C₈	C₂×#107	1	2	yes	—
210	C₈	C₂×#107	1	2	yes	—
211	C₈	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
212	C₈	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
213	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	—	2	2	no	—
216	C₂²	—	2	4	no	—
217	C₂²	—	4	2	no	—
218	C₂²	—	4	2	no	—
219	C₂²	C₄×#107	1	4	yes	—
220	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
223	C₄	—	2	4	no	—
224	C₄	—	4	2	no	—
225	C₄	—	8	8	no	—
226	C₄	C₄×#107	1	4	yes	—
227	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
229	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
230	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
231	C₂	—	2	1	no	—
232	C₂	—	2	1	no	—
233	C₂	—	2	4	no	—
234	C₂	C₂×C₄×#107	1	1	yes	characteristic
235	C₂	#33463	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂×D₈
commutator	C₈	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₈
prime radical	C₂⁴	#135
LCS	G ▷ C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂³×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #12671	C₂	semidirect
6. #12670	C₂	semidirect
14. #2161	C₄	semidirect
16. #2159	C₄	semidirect
18. C₄×M₃₂	C₄	semidirect
62. #368	C₂×C₄	semidirect
63. #367	C₂×C₄	semidirect
64. #366	C₂×C₄	semidirect
65. #346	C₂×C₄	semidirect
66. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2161	2
#33409	2
C₂×C₄×M₃₂	2
C₂×#1772	2
#12671	2
#12670	2
#12561	2