Subgroups — #493271

Order 512.

946 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#12612	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12611	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#2112	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#346	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
25	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₄	1	2	yes	—
31	#1374	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#1374	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₂²⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×M₃₂	—	4	4	no	—
47	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
48	C₂²×C₁₆	—	4	4	no	—
49	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	C₈	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#95	C₈	1	2	yes	—
68	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	#346	—	4	4	no	—
74	C₄×C₁₆	—	4	4	no	—
75	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
81	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
82	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
101	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	M₃₂	—	4	8	no	—
127	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
135	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
136	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
137	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
138	C₄×C₈	—	2	4	no	—
139	C₄×C₈	—	2	4	no	—
140	C₄×C₈	—	4	2	no	—
141	C₄×C₈	—	4	2	no	—
142	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
143	#95	C₂×C₈	1	4	yes	—
144	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	2	4	no	—
147	C₂⁴	—	4	2	no	—
148	C₂⁴	C₄×C₈	1	4	yes	—
149	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	4	no	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	4	4	no	—
196	C₂×C₈	—	4	4	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	4	8	no	—
199	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
201	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
202	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
203	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
204	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	M₃₂	1	8	yes	complemented
210	C₄²	—	2	2	no	—
211	C₄²	—	2	2	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	4	4	no	—
215	C₁₆	—	2	4	no	—
216	C₁₆	—	2	4	no	—
217	C₁₆	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	8	no	—
223	C₂³	—	2	8	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	4	4	no	—
228	C₂³	—	4	16	no	—
229	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
230	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂×M₃₂	1	4	yes	—
233	C₂³	#504	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	8	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
264	C₈	—	2	4	no	—
265	C₈	—	2	4	no	—
266	C₈	—	2	2	no	—
267	C₈	—	2	2	no	—
268	C₈	—	2	2	no	—
269	C₈	#518	1	2	yes	—
270	C₈	#518	1	2	yes	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	8	no	—
276	C₂²	—	2	8	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	4	16	no	—
281	C₂²	—	4	4	no	—
282	C₂²	C₄×M₃₂	1	4	yes	—
283	C₂²	#2108	1	4	yes	—
284	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#2972	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂²×M₃₂	1	2	yes	—
287	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	2	8	no	—
292	C₄	—	4	4	no	—
293	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#2873	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#2972	1	2	yes	—
296	C₂	—	2	4	no	—
297	C₂	—	2	4	no	—
298	C₂	—	4	2	no	—
299	C₂	#20523	1	1	yes	characteristic
300	C₂	C₂×C₄×M₃₂	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₂×#2108	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#33488	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂⁵	C₂×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #12612	C₂	semidirect
5. #12611	C₂	semidirect
6. C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #12599	C₂	semidirect
8. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
15. #2112	C₄	semidirect
16. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₄	semidirect
22. C₂×#346	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
31. #1374	C₂²	semidirect
32. #1374	C₂²	semidirect
47. C₂×M₃₂	C₂×C₄	semidirect
49. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
71. C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
72. C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
209. C₂²⋊C₄	M₃₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2112	2
C₂²×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
#12612	2
#12611	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2
#12599	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2