Subgroups — #493528

Order 512.

3280 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#576	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2148	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#12738	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#12736	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
9	C₂×#576	—	2	8	no	—
10	C₂×#576	—	2	8	no	—
11	C₂×#576	—	2	4	no	—
12	C₂×#576	C₄	1	8	yes	—
13	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
14	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	2	1	no	—
15	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#2879	—	2	1	no	—
23	#2148	—	2	8	no	—
24	C₂×#362	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#361	—	2	8	no	—
26	C₂×#361	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#361	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#2113	—	2	4	no	—
29	#2112	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1811	—	2	2	no	—
31	#1810	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#1738	—	2	1	no	—
33	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
34	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
35	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
36	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
37	C₂²×#41	—	2	2	no	—
38	C₂²×#41	—	2	1	no	—
39	C₂²×#41	—	4	1	no	—
40	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	4	2	no	—
44	C₂³×D₄	—	4	1	no	—
45	#576	—	2	32	no	—
46	#576	—	2	32	no	—
47	#576	—	2	32	no	—
48	#576	—	2	32	no	—
49	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
50	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
51	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
52	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
53	C₂×#135	—	2	8	no	—
54	C₂×#135	—	2	8	no	—
55	C₂×#135	—	2	4	no	—
56	C₂×#135	—	2	4	no	—
57	C₂×#135	—	2	2	no	—
58	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#135	D₄	1	8	yes	—
61	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
64	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
65	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
66	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
67	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
68	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
70	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
71	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×D₈	D₄	1	8	yes	—
74	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#131	—	2	4	no	—
77	C₂×#131	—	2	4	no	—
78	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
86	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
87	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
88	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×#108	—	2	4	no	—
91	C₂×#108	—	2	4	no	—
92	C₂×#108	—	2	2	no	—
93	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
94	#408	—	4	4	no	—
95	#407	—	2	4	no	—
96	#362	—	2	8	no	—
97	#361	—	2	16	no	—
98	#361	—	2	8	no	—
99	C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
100	#341	—	2	4	no	—
101	C₂⁵	—	4	2	no	—
102	C₂⁵	—	4	1	no	—
103	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
104	H(5,𝔽₂)	—	4	32	no	—
105	H(5,𝔽₂)	—	4	32	no	—
106	H(5,𝔽₂)	—	4	32	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	16	no	—
110	C₂×#41	—	2	8	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	8	no	—
113	C₂×#41	—	4	8	no	—
114	C₂×#41	—	4	16	no	—
115	C₂×#41	—	4	8	no	—
116	C₂×#41	—	4	4	no	—
117	C₂×#41	—	4	2	no	—
118	C₂×#41	—	4	4	no	—
119	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₂×#41	D₈	1	4	yes	—
121	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×Q₈	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
141	C₂²×D₄	SD₁₆	1	2	yes	—
142	C₂²×D₄	SD₁₆	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	AGL(1,ℤ/8)	—	2	64	no	—
148	AGL(1,ℤ/8)	—	2	128	no	—
149	#135	—	2	32	no	—
150	#135	—	2	16	no	—
151	#135	—	2	16	no	—
152	#135	—	2	8	no	—
153	#135	—	2	8	no	—
154	#135	—	2	8	no	—
155	#135	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
164	C₂×D₈	—	2	16	no	—
165	C₂×D₈	—	2	32	no	—
166	C₂×D₈	—	2	16	no	—
167	C₂×D₈	—	2	16	no	—
168	C₂×D₈	—	2	8	no	—
169	C₂×D₈	—	2	4	no	—
170	C₂×D₈	—	2	8	no	—
171	C₂×D₈	—	2	8	no	—
172	C₂×D₈	—	2	8	no	—
173	C₂×D₈	—	2	8	no	—
174	C₂×D₈	—	2	4	no	—
175	C₂×D₈	—	2	2	no	—
176	C₂×D₈	—	2	1	no	—
177	C₂×D₈	—	2	2	no	—
178	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
179	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×D₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	#131	—	2	8	no	—
184	#131	—	2	8	no	—
185	#131	—	2	8	no	—
186	#131	—	2	8	no	—
187	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
188	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
189	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
190	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
191	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
192	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
193	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
195	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	M₃₂	—	2	4	no	—
208	M₃₂	—	2	4	no	—
209	M₃₂	—	4	4	no	—
210	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
211	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
212	#108	—	2	4	no	—
213	#108	—	2	4	no	—
214	#108	—	4	4	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
216	C₂⁴	—	4	16	no	—
217	C₂⁴	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	—	4	1	no	—
219	C₂⁴	—	4	8	no	—
220	C₂⁴	—	4	4	no	—
221	C₂⁴	—	4	8	no	—
222	C₂⁴	—	16	4	no	—
223	C₂⁴	—	16	8	no	—
224	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
226	#41	—	2	8	no	—
227	#41	—	2	8	no	—
228	#41	—	2	8	no	—
229	#41	—	2	8	no	—
230	#41	—	2	32	no	—
231	#41	—	2	16	no	—
232	#41	—	4	16	no	—
233	#41	—	4	32	no	—
234	#41	—	4	64	no	—
235	#41	—	4	8	no	—
236	#41	—	4	8	no	—
237	#41	—	4	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	#102	1	4	yes	—
244	C₂×D₄	—	2	8	no	—
245	C₂×D₄	—	2	32	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	16	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	16	no	—
253	C₂×D₄	—	4	16	no	—
254	C₂×D₄	—	4	32	no	—
255	C₂×D₄	—	4	128	no	—
256	C₂×D₄	—	4	64	no	—
257	C₂×D₄	—	4	16	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	1	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	8	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	8	no	—
269	C₂×D₄	—	4	8	no	—
270	C₂×D₄	—	4	8	no	—
271	C₂×D₄	#102	1	8	yes	—
272	C₂×D₄	#102	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₁₆	—	2	2	no	—
290	Q₁₆	—	2	4	no	—
291	Q₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
292	SD₁₆	—	2	32	no	—
293	SD₁₆	—	2	16	no	—
294	D₈	—	2	32	no	—
295	D₈	—	2	4	no	—
296	D₈	—	2	2	no	—
297	D₈	—	2	4	no	—
298	D₈	—	2	8	no	—
299	D₈	—	2	16	no	—
300	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
301	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
302	M₁₆	—	2	8	no	—
303	M₁₆	—	2	16	no	—
304	M₁₆	—	4	4	no	—
305	M₁₆	—	4	4	no	—
306	M₁₆	—	8	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	8	no	—
311	C₂×C₈	—	4	4	no	—
312	C₂×C₈	—	8	4	no	—
313	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
314	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
316	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
318	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
319	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
320	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₁₆	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	4	no	—
328	C₂³	—	4	32	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	16	no	—
334	C₂³	—	8	8	no	—
335	C₂³	—	8	4	no	—
336	C₂³	—	16	8	no	—
337	C₂³	—	16	16	no	—
338	C₂³	—	16	16	no	—
339	C₂³	—	16	32	no	—
340	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
341	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
342	C₂³	#450	1	4	yes	—
343	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	8	no	—
345	Q₈	—	2	4	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	D₄	—	2	16	no	—
349	D₄	—	2	4	no	—
350	D₄	—	2	8	no	—
351	D₄	—	2	8	no	—
352	D₄	—	4	32	no	—
353	D₄	—	4	32	no	—
354	D₄	—	4	16	no	—
355	D₄	—	4	2	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	8	no	—
359	D₄	—	4	16	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	32	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	16	no	—
368	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#450	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
379	C₈	—	2	4	no	—
380	C₈	—	8	4	no	—
381	C₈	#379	1	4	yes	—
382	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
383	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
384	C₈	C₂×#120	1	2	yes	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	2	8	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	8	no	—
391	C₂²	—	4	8	no	—
392	C₂²	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	8	16	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	8	8	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	16	16	no	—
398	C₂²	—	16	32	no	—
399	C₂²	#1786	1	4	yes	—
400	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	C₂×#450	1	2	yes	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	4	4	no	—
404	C₄	#1786	1	4	yes	—
405	C₄	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
407	C₄	C₂×#447	1	2	yes	—
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	2	4	no	—
410	C₂	—	4	4	no	—
411	C₂	—	8	8	no	—
412	C₂	—	8	4	no	—
413	C₂	C₂×#1786	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#33392	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#102
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×#576	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ C₂²×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2148	C₂	semidirect
3. C₂²×#361	C₂	semidirect
4. #33333	C₂	semidirect
5. #20668	C₂	semidirect
6. #12738	C₂	semidirect
7. #12736	C₂	semidirect
20. C₂²×M₃₂	C₂²	semidirect
21. C₂²×#108	C₂²	semidirect
24. C₂×#362	C₂²	semidirect
26. C₂×#361	C₂²	semidirect
27. C₂×#361	C₂²	semidirect
29. #2112	C₂²	semidirect
31. #1810	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#576	2
C₂×#2148	2
C₂²×#361	2
#33333	2
#20668	2
#12738	2
#12736	2