Subgroups — #493689

Order 512.

1216 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2150	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2115	C₂	1	2	yes	maximal
4	#12786	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12785	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#12551	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#131	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
11	C₄×#131	—	2	4	no	—
12	C₄×#131	—	2	4	no	—
13	C₂×#405	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2150	—	2	4	no	—
22	#2150	C₂²	1	4	yes	—
23	#2150	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
25	#2115	—	2	8	no	—
26	C₂×#349	C₂²	1	8	yes	—
27	#1377	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#131	—	2	4	no	—
30	C₂×#131	—	2	4	no	—
31	C₂×#131	—	2	4	no	—
32	C₂×#131	—	2	2	no	—
33	C₂×#131	—	2	2	no	—
34	C₂×#131	—	2	4	no	—
35	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
36	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#41	—	2	4	no	—
46	C₄×#41	—	2	2	no	—
47	C₄×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	C₈	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₈	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
56	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
57	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
58	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
60	#405	—	2	4	no	—
61	#405	—	2	2	no	—
62	#405	—	2	2	no	—
63	#405	—	2	4	no	—
64	#405	—	2	4	no	—
65	#405	—	2	8	no	—
66	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
67	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄⋊C₁₆	—	2	8	no	—
83	C₄⋊C₁₆	—	2	8	no	—
84	#349	—	2	16	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂×#41	M₁₆	1	4	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#131	—	2	32	no	—
99	#131	—	2	8	no	—
100	#131	—	2	8	no	—
101	#131	—	2	8	no	—
102	#131	—	2	8	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂×M₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
114	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	2	8	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	2	no	—
144	#117	—	2	2	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	M₃₂	—	2	8	no	—
163	M₃₂	—	2	8	no	—
164	M₃₂	—	4	8	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
166	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
167	#97	—	2	4	no	—
168	#97	—	2	4	no	—
169	#97	—	2	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
182	#41	—	2	8	no	—
183	#41	—	2	8	no	—
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
194	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	M₁₆	—	2	16	no	—
220	M₁₆	—	2	8	no	—
221	M₁₆	—	2	8	no	—
222	M₁₆	—	2	8	no	—
223	M₁₆	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
262	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
267	C₁₆	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
275	C₂³	#431	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	2	8	no	—
278	D₄	—	2	16	no	—
279	D₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#423	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#431	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#432	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	2	no	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	2	4	no	—
315	C₈	#380	1	2	yes	—
316	C₈	#380	1	2	yes	—
317	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
318	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	#1797	1	4	yes	—
328	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₄	#1797	1	4	yes	—
336	C₄	#2115	1	4	yes	complemented
337	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
339	C₄	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
340	C₄	C₂×#432	1	1	yes	characteristic
341	C₂	—	2	1	no	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	4	no	—
344	C₂	—	4	4	no	—
345	C₂	C₂×#1797	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#2115	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2150	C₂	semidirect
4. #12786	C₂	semidirect
5. #12785	C₂	semidirect
6. #12551	C₂	semidirect
336. C₄	#2115	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
C₂×#2150	2
C₂×#2115	2
#12786	2
#12785	2
#12551	2