Subgroups — #493814

Order 512.

998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2159	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20663	C₂	1	2	yes	maximal
4	#12836	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12835	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#504	—	2	8	no	—
11	C₂×#504	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
18	#2311	—	2	2	no	—
19	#2159	—	2	8	no	—
20	C₂×#367	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#366	C₂²	1	4	yes	—
22	#1809	—	2	4	no	—
23	#1808	C₂²	1	4	yes	—
24	#1808	C₂²	1	4	yes	—
25	#1736	—	2	2	no	—
26	#1380	C₂²	1	2	yes	—
27	#1380	C₂²	1	2	yes	—
28	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1380	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#131	—	2	4	no	—
33	C₂×#131	—	2	4	no	—
34	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#117	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	#504	—	2	32	no	—
43	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
44	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
46	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	—
47	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
49	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	#427	—	2	4	no	—
55	#427	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#107	—	2	4	no	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	#391	—	4	2	no	—
64	#390	—	4	2	no	—
65	#386	—	4	4	no	—
66	#380	—	2	4	no	—
67	#380	—	2	4	no	—
68	#367	—	2	8	no	—
69	#366	—	2	8	no	—
70	#340	—	2	4	no	—
71	#340	—	2	4	no	—
72	C₂×#41	—	2	4	no	—
73	C₂×#41	—	2	4	no	—
74	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#41	Q₁₆	1	4	yes	—
76	C₂²×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×D₄	D₈	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	#131	—	2	8	no	—
83	#131	—	2	8	no	—
84	#131	—	2	16	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
87	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
89	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	#117	—	4	4	no	—
101	#117	—	4	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
112	M₃₂	—	2	16	no	—
113	M₃₂	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
114	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
118	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
122	#107	—	2	2	no	—
123	#107	—	2	4	no	—
124	#107	—	2	2	no	—
125	#107	—	2	4	no	—
126	#107	—	2	2	no	—
127	#107	—	2	2	no	—
128	#107	—	4	4	no	—
129	#106	—	4	4	no	—
130	#95	—	4	4	no	—
131	#95	—	4	4	no	—
132	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
133	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
134	#41	—	2	8	no	—
135	#41	—	2	8	no	—
136	#41	—	2	16	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂×Q₈	#107	1	4	yes	—
139	C₂×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂×D₄	#107	1	8	yes	—
142	C₂×D₄	#107	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
151	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	M₁₆	—	2	8	no	—
161	M₁₆	—	2	16	no	—
162	C₂×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂×C₈	—	2	4	no	—
165	C₂×C₈	—	2	8	no	—
166	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
170	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
171	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
172	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
176	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
186	C₄²	—	8	4	no	—
187	C₁₆	—	2	2	no	—
188	C₁₆	—	2	2	no	—
189	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
190	C₂³	—	2	1	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	1	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	4	no	—
197	C₂³	C₂×#107	1	4	yes	—
198	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
199	C₂³	#466	1	4	yes	—
200	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
201	Q₈	—	2	8	no	—
202	D₄	—	2	16	no	—
203	D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	8	2	no	—
209	C₂×C₄	—	8	4	no	—
210	C₂×C₄	—	8	2	no	—
211	C₂×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂×C₄	—	8	2	no	—
213	C₂×C₄	—	8	2	no	—
214	C₂×C₄	—	8	2	no	—
215	C₂×C₄	—	8	2	no	—
216	C₂×C₄	—	8	4	no	—
217	C₂×C₄	—	16	8	no	—
218	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	C₂×#107	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	#427	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
223	C₂×C₄	#467	1	8	yes	—
224	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
228	C₈	—	2	4	no	—
229	C₈	#380	1	4	yes	—
230	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₈	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
232	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂²	—	2	4	no	—
234	C₂²	—	2	4	no	—
235	C₂²	—	2	2	no	—
236	C₂²	—	2	2	no	—
237	C₂²	—	2	4	no	—
238	C₂²	—	2	4	no	—
239	C₂²	—	2	4	no	—
240	C₂²	—	4	4	no	—
241	C₂²	—	4	4	no	—
242	C₂²	#1808	1	4	yes	—
243	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	C₂×#466	1	2	yes	—
245	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	#3416	1	2	yes	—
247	C₂²	#3417	1	1	yes	characteristic
248	C₄	—	2	4	no	—
249	C₄	—	16	2	no	—
250	C₄	—	16	4	no	—
251	C₄	—	16	2	no	—
252	C₄	#1808	1	4	yes	—
253	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
254	C₄	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
255	C₄	C₂×#467	1	2	yes	—
256	C₂	—	2	4	no	—
257	C₂	—	4	4	no	—
258	C₂	C₂×#1808	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#33410	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#33411	1	1	yes	characteristic
261	C₂	#33612	1	2	yes	—
262	C₂	#33613	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ C₂²×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2159	C₂	semidirect
4. #12836	C₂	semidirect
5. #12835	C₂	semidirect
6. #12834	C₂	semidirect
7. #12556	C₂	semidirect
8. C₂×#1380	C₂	semidirect
11. C₂×#504	C₄	semidirect
45. C₂×M₃₂	C₂×C₄	semidirect
50. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
113. M₃₂	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#504	2
C₂×#2159	2
#20663	2
#12836	2
#12835	2
#12834	2
#12556	2
C₂×#1380	2